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已知:函数f(x)对一切实数x,y都有f(x+y)-f(y)=x(x+2y+1)成立,且f(1)=0.(1)求f(0)的值.(2)求f(x)的解析式.(3)已知a∈R,设P:当0<x<12时,不等式f(x)+3<2x+a恒成立;Q:当x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)-ax是单调函数.如果满足P成立的a的集合记为A,满足Q成立的a的集合记为B,求A∩CRB(R为全集).试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
已知:函数f(x)对一切实数x,y都有f(x+y)-f(y)=x(x+2y+1)成立,且f(1)=0.
(1)求f(0)的值.
(2)求f(x)的解析式.
(3)已知a∈R,设P:当0<x<
1
2
时,不等式f(x)+3<2x+a恒成立;Q:当x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)-ax是单调函数.如果满足P成立的a的集合记为A,满足Q成立的a的集合记为B,求A∩C
R
B(R为全集).
试题解答
见解析
解:(1)令x=-1,y=1,则由已知f(0)-f(1)=-1(-1+2+1)
∴f(0)=-2
(2)令y=0,则f(x)-f(0)=x(x+1)
又∵f(0)=-2
∴f(x)=x
2
+x-2
(3)不等式f(x)+3<2x+a即x
2
+x-2+3<2x+a
也就是x
2
-x+1<a.由于当0<x<
1
2
时,
3
4
<x
2
-x+1<1,又x
2
-x+1=(x-
1
2
)
2
+
3
4
<a恒成立,
故A={a|a≥1},g(x)=x
2
+x-2-ax=x
2
+(1-a)x-2 对称轴x=
a-1
2
,
又g(x)在[-2,2]上是单调函数,故有
a-1
2
≤-2,或
a-1
2
≥2,
∴B={a|a≤-3,或a≥5},C
R
B={a|-3<a<5}
∴A∩C
R
B={a|1≤a<5}.
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第1章 集合
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集合的表示法
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