已知定义域为[0，1]的函数f（x）同时满足以下三个条件：①对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；②f（1）=1；③若x1≥0，x2≥0且x1+x2≤1，则有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立，并且称f（x）为“友谊函数”，请解答下列各题：（1）若已知f（x）为“友谊函数”，求f（0）的值；（2）函数g（x）=2x-1在区间[0，1]上是否为“友谊函数”？并给出理由．（3）已知f（x）为“友谊函数”，且 0≤x1＜x2≤1，求证：f（x1）≤f（x2）．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

已知定义域为[0，1]的函数f（x）同时满足以下三个条件：
①对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；
②f（1）=1；
③若x₁≥0，x₂≥0且x₁+x₂≤1，则有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立，并且称f（x）为“友谊函数”，
请解答下列各题：
（1）若已知f（x）为“友谊函数”，求f（0）的值；
（2）函数g（x）=2^x-1在区间[0，1]上是否为“友谊函数”？并给出理由．
（3）已知f（x）为“友谊函数”，且 0≤x₁＜x₂≤1，求证：f（x₁）≤f（x₂）．

试题解答

见解析

解：（1）取x₁=x₂=0
得f（0）≥f（0）+f（0），
又由f（0）≥0，得f（0）=0
（2）解：显然g（x）=2^x-1在[0，1]上满足①g（x）≥0；②g（1）=1
若x₁≥0，x₂≥0，且x₁+x₂≤1，
则有g(x₁+x₂)-[g(x₁)+g(x₂)]=2^x₁+x₂-1-[(2^x₁-1)+(2 ^x₂-1)]=(2^x₁-1)(2 ^x₂-1)≥0．
故g（x）=2^x-1满足条件①﹑②﹑③
所以g（x）=2^x-1为友谊函数．
（3）解：因为0≤x₁＜x₂≤1，则0＜x₂-x₁＜1，
所以f（x₂）=f（x₂-x₁+x₁）≥f（x₂-x₁）+f（x₁）≥f（x₁）
故有f（x₁）≤f（x₂）．

标签

必修1 人教A版单选题高中数学

试题详情

试题解答

集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;集合的相等;元素与集合关系的判断;子集与真子集相关试题