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  • 已知函数f（x）=x+px+m（p≠0）是奇函数．（1）求m的值．（2）当x∈[1，2]时，求f（x）的最大值和最小值．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=x+
      p
      x
      +m（p≠0）是奇函数．
      （1）求m的值．
      （2）当x∈[1，2]时，求f（x）的最大值和最小值．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵f（x）是奇函数，
      ∴f（-x）=-f（x）．
      ∴-x-
      p
      x
      +m=-x-
      p
      x
      -m．
      ∴2m=0，
      ∴m=0．
      （2）（ⅰ）当p＜0时，据定义可证明f（x）在[1，2]上为增函数．
      ∴f（x）      max=f（2）=2+
      p
      2
      ，f（x）min=f（1）=1+p．

      （ⅱ）当p＞0时，据定义可证明f（x）在（0，
      √p
      ]上是减函数，在[
      √p
      ，+∞）上是增函数．
      ①当
      √p
      ＜1，即0＜p＜1时，f（x）在[1，2]上为增函数，
      ∴f（x）      max=f（2）=2+
      p
      2
      ，f（x）min=f（1）=1+p．
      ②当
      √p
      ∈[1，2]时，f（x）在[1，p]上是减函数．在[p，2]上是增???数．
      f（x）      min=f（
      √p
      ）=2
      √p
      ．
      f（x）      max=max{f（1），f（2）}=max{1+p，2+
      p
      2
      }．
      当1≤p≤2时，1+p≤2+
      p
      2
      ，f（x）max=f（2）；
      当2＜p≤4时，1+p≥2+
      p
      2
      ，f（x）max=f（1）．
      ③当
      √p
      ＞2，即p＞4时，f（x）在[1，2]上为减函数，
      ∴f（x）      max=f（1）=1+p，f（x）min=f（2）=2+
      p
      2
      ．
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