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已知函数f(x)=mx2+23x-n是奇函数,且f(2)=53(1)求实数m,n的值;(2)判断f(x)在(-∞,-1)的单调性,并加以证明.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
已知函数f(x)=
mx
2
+2
3x-n
是奇函数,且f(2)=
5
3
(1)求实数m,n的值;
(2)判断f(x)在(-∞,-1)的单调性,并加以证明.
试题解答
见解析
(1)解:因为f(x)奇函数.所以有f(-x)=-f(x)
∴
mx
2
+2
-3x-n
=-
mx
2
+2
3x-n
∴3x+n=3x-n
∴n=0
∵f(2)=
4m+2
6
=
5
3
∴m=2
∴m=2 n=0
(2)f(x)=
2x
2
+2
3x
=
2
3
(x+
1
x
)在(-∞,-1)上为增函数.
证明:设x
1
,x
2
∈(-∞,-1)且x
1
<x
2
则f(x
1
)-f(x
2
)=
2
3
(x
1
+
1
x
1
-x
2
-
1
x
2
)
=
2
3
[(x
1
-x
2
)+
1
x
1
-
1
x
2
)]
=
2(x
1
-x
2
)(x
1
x
2
-1)
3x
1
x
2
∵x
1
<x
2
<-1
∴x
1
x
2
>1,x
1
-x
2
<0
∴
2
3
(x
1
-x
2
)(
x
1
x
2
-1
x
1
x
2
)<0
∴f(x
1
)-f(x
2
)<0
所以f(x)在(-∞,-1)的单调增函数.
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