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  • 已知函数f（x）是定义在区间[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若对于任意的m、n∈[-1，1]有f(m)+f(n)m+n＞0．（1）判断并证明函数的单调性；（2）解不等式f(x+12)＜f(1-x)；（3）若f（x）≤-2at+2对于任意的x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求实数t的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）是定义在区间[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若对于任意的m、n∈[-1，1]有
      f(m)+f(n)
      m+n
      ＞0．
      （1）判断并证明函数的单调性；
      （2）解不等式f(x+
      1
      2
      )＜f(1-x)；
      （3）若f（x）≤-2at+2对于任意的x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求实数t的取值范围．

      试题解答

      见解析
      （1）函数f（x）在区间[-1，1]上是增函数：
      证明：由题意可知，对于任意的m、n∈[-1，1]有
      f(m)+f(n)
      m+n
      ＞0，
      可设x      1=m，x2=-n，则
      f(x1)+f(-x2)
      x1-x2
      ＞0，即
      f(x1)-f(x2)
      x1-x2
      ＞0，
      当x      1＞x2时，f（x1）＞f（x2），
      ∴函数f（x）在区间[-1，1]上是增函数；
      当x      1＜x2时，f（x1）＜f（x2），
      ∴函数f（x）在区间[-1，1]上是增函数；
      综上：函数f（x）在区间[-1，1]上是增函数．
      （2）由（1）知函数f（x）在区间[-1，1]上是增函数，
      又由f(x+
      1
      2
      )＜f(1-x)，
      得
      {
      -1≤x+
      1
      2
      ≤1
      -1≤1-x≤1
      x+
      1
      2
      ＜1-x
      ，解得0≤x＜
      1
      4
      ，
      ∴不等式f(x+
      1
      2
      )＜f(1-x)的解集为{x|0≤x＜
      1
      4
      }；
      （3）∵函数f（x）在区间[-1，1]上是增函数，且f（1）=1，
      要使得对于任意的x∈[-1，1]，a∈[-1，1]都有f（x）≤-2at+2恒成立，
      只需对任意的a∈[-1，1]时-2at+2≥1，即-2at+1≥0恒成立，
      令y=-2at+1，此时y可以看做a的一次函数，且在a∈[-1，1]时y≥0恒成立，
      因此只需要
      {
      -2t+1≥0
      2t+1≥0
      ，解得-
      1
      2
      ≤t≤
      1
      2
      ，
      ∴实数t的取值范围为：-
      1
      2
      ≤t≤
      1
      2
      ．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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