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已知f(x)是定义在实数集R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=x2-4x+3,(Ⅰ)求f[f(-1)]的值;(Ⅱ)求函数f(x)的解析式;(Ⅲ)求函数f(x)在区间[t,t+1](t>0)上的最小值.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
已知f(x)是定义在实数集R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=x
2
-4x+3,
(Ⅰ)求f[f(-1)]的值;
(Ⅱ)求函数f(x)的解析式;
(Ⅲ)求函数f(x)在区间[t,t+1](t>0)上的最小值.
试题解答
见解析
解:(Ⅰ)由题意可得:f(x)是定义在实数集R上的奇函数,
所以f(-1)=-f(1),并且f(0)=0.
又因为当x>0时,f(x)=x
2
-4x+3,
所以f(1)=0,
所以f(-1)=0.
所以f[f(-1)]=f(0)=0…4′
(Ⅱ)设x<0则-x>0,
因为当x>0时,f(x)=x
2
-4x+3,
所以f(-x)=x
2
+4x+3,
又因为f(x)是定义在实数集R上的奇函数,
所以f(x)=-x
2
-4x-3.
所以f(x)=
{
x
2
-4x+3(x>0)
0(x=0)
-x
2
-4x-3(x<0)
…4′
(Ⅲ)由题意可得:f(x)=x
2
-4x+3,x∈[t,t+1],
所以二次函数的对称轴为x=2,
当t+1<2,即0<t≤1时,f(x)在[t,t+1]上单调递减,
所以f(x)
min
=f(t+1)=t
2
-2t.
当t>2时,f(x)在[t,t+1]上单调递增,
所以f(x)
min
=f(t)=t
2
-4t+3.
当t≤2<t+1时,即1<t≤2时,f(x)在[t,t+1]上先减后增,
所以f(x)
min
=f(2)=-1.
所以f(x)
min
=
{
t
2
-2t(0<t≤1)
-1(1<t≤2)
t
2
-4t+3(t>2)
…6′
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集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;集合的相等;元素与集合关系的判断;子集与真子集
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