已知函数f（x）的图象过点（0，1），且与函数g(x)=212x-1-a-1的图象关于直线y=x-1成轴对称图形．（1）求函数f（x）的解析式及定义域；（2）若三个正数m、n、t依次成等比数列，证明f（m）+f（t）≥2f（n）．试题及答案-单选题-云返教育

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已知函数f（x）的图象过点（0，1），且与函数g(x)=2^1
2
x-1-a-1的图象关于直线y=x-1成轴对称图形．
（1）求函数f（x）的解析式及定义域；
（2）若三个正数m、n、t依次成等比数列，证明f（m）+f（t）≥2f（n）．

试题解答

见解析

（1）解：在y=f（x）的图象上取点P（x，y），
设P点关于直线y=x-1对称的点为Q（m，n），
则

{

y-n

x-m

=-1

y+n

x+m

-1

{	m=y+1 n=x-1.

∵Q在y=g（x）的图象上，
∴x-1=2^{y+1
2
-1}-a-1?y=2log₂（x+a）+1．
∵y=f（x）的图象过点（0，1），
∴1=2log₂a+1?a=1．
故f（x）=2log₂（x+1）+1，定义域为（-1，+∞）．
（2）证明：∵n²=mt?（m+1）（t+1）
=mt+m+t+1
≥n²+2

√mt

+1
=（n+1）²，
∴f（m）+f（t）
=2log₂（m+1）+1+2log₂（t+1）+1
=2log₂（m+1）（t+1）+2
≥2log₂（n+1）²+2
=2[2log₂（n+1）+1=2f（n）．

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必修1 人教A版单选题高中数学

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