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已知定义域为R的函数f(x)=-2x+a2x+1是奇函数．（Ⅰ）求实数a值；（Ⅱ）判断并证明该函数在定义域R上的单调性．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

已知定义域为R的函数f(x)=

-2^x+a

2^x+1

是奇函数．
（Ⅰ）求实数a值；
（Ⅱ）判断并证明该函数在定义域R上的单调性．

试题解答

见解析

解：（Ⅰ）∵f（x）是R上的奇函数，∴f（0）=0，即

-2⁰+a

2⁰+1

=0；
∴a=1，即f(x)=

-2^x+1

2^x+1

；
此时f(-x)=

-2^-x+1

2^-x+1

=

-

1

2^x

+1

1

2^x

+1

=

-1+2^x

1+2^x

=-f(x)是奇函数；
∴a的值是：a=1．
（Ⅱ）f（x）是R上的减函数，证明如下，
设x₁＜x₂，则f(x₁)-f(x₂)=

-2^x₁+1

2^x₁+1

-

-2^x₂+1

2^x₂+1

=

2

2^x₁+1

-

2

2^x₂+1

=

2(2^x₂-2^x₁)

(2^x₁+1)(2^x₂+1)

；
∵x₁＜x₂，∴0＜2^x₁＜2^x₂，
∴2（2^x₂-2^x₁）＞0，（2^x₁+1）（2^x₂+1）＞0；
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在R上是减函数．

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必修1 人教A版单选题高中数学

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