已知函数f（x）=log2x+1x-1，g（x）=log2（x-1）（1）判断f（x）在区间（1，+∞）上的单调性，并用定义证明；（2）记函数h（x）=g（2x+2）+kx，问：是否存在实数k使得函数h（x）为偶函数？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．试题及答案-单选题-云返教育

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已知函数f（x）=log₂

x+1

x-1

，g（x）=log₂（x-1）
（1）判断f（x）在区间（1，+∞）上的单调性，并用定义证明；
（2）记函数h（x）=g（2^x+2）+kx，问：是否存在实数k使得函数h（x）为偶函数？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．

试题解答

见解析

解：（1）f（x）在区间（1，+∞）上的单调递减．证明如下：
任取1＜x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=log₂

(x₁+1)(x₂-1)

(x₁-1)(x₂+1)

∵

(x₁+1)(x₂-1)

(x₁-1)(x₂+1)

-1=

2(x₂-x₁)

(x₁-1)(x₂+1)

，
∵1＜x₁＜x₂，
∴

2(x₂-x₁)

(x₁-1)(x₂+1)

＞0，
∴

2(x₂-x₁)

(x₁-1)(x₂1)

＞1
∴f（x₁）-f（x₂）＞0
∴f（x）在区间（1，+∞）上的单调递减；
（2）h（x）=g（2^x+2）+kx=log₂（2^x+1）+kx，定义域为R，
假设存在这样的k使得函数h（x）为偶函数，则h（x）-h（-x）=0恒成立，
即log₂（2^x+1）+kx-log₂（2^-x+1）+kx=0，化简得（1+2k）x=0，
∴k=-

使得函数h（x）为偶函数．

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必修1 人教A版单选题高中数学

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