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  • 已知函数f（x）=x|2a-x|+2x，a∈R．（1）若a=0，判断函数y=f（x）的奇偶性，并加以证明；（2）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的取值范围；（3）若存在实数a∈[-2，2]，使得关于x的方程f（x）-tf（2a）=0有三个不相等的实数根，求实数t的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=x|2a-x|+2x，a∈R．
      （1）若a=0，判断函数y=f（x）的奇偶性，并加以证明；
      （2）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的取值范围；
      （3）若存在实数a∈[-2，2]，使得关于x的方程f（x）-tf（2a）=0有三个不相等的实数根，求实数t的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（1）函数y=f（x）为奇函数．
      当a=0时，f（x）=x|x|+2x，
      ∴f（-x）=-x|x|-2x=-f（x），
      ∴函数y=f（x）为奇函数；
      （2）f（x）=
      {
      x2+(2-2a)x，x≥2a
      -x2+(2+2a)x，x＜2a
      ，
      当x≥2a时，f（x）的对称轴为：x=a-1；
      当x＜2a时，y=f（x）的对称轴为：x=a+1；
      ∴当a-1≤2a≤a+1时，f（x）在R上是增函数，
      即-1≤a≤1时，函数f（x）在R上是增函数；
      （3）方程f（x）-tf（2a）=0的解即为方程f（x）=tf（2a）的解．
      ①当-1≤a≤1时，函数f（x）在R上是增函数，∴关于x的方程f（x）=tf（2a）不可能有三个不相等的实数根； …（9分）
      ②当a＞1时，即2a＞a+1＞a-1，
      ∴f（x）在（-∞，a+1）上单调增，在（a+1，2a）上单调减，在（2a，+∞）上单调增，
      ∴当f（2a）＜tf（2a）＜f（a+1）时，关于x的方程f（x）=tf（2a）有三个不相等的实数根；
      即4a＜t-4a＜（a+1）      2，
      ∵a＞1，
      ∴1＜t＜
      1
      4
      (a+
      1
      a
      +2)．
      设h(a)=
      1
      4
      (a+
      1
      a
      +2)，
      ∵存在a∈[-2，2]，使得关于x的方程f（x）=tf（2a）有三个不相等的实数根，
      ∴1＜t＜h（a）      max，
      又可证h(a)=
      1
      4
      (a+
      1
      a
      +2)在（1，2]上单调增
      ∴＜h（a）      max=
      9
      8
      ，
      ∴1＜t＜
      9
      8

      ③当a＜-1时，即2a＜a-1＜a+1，
      ∴f（x）在（-∞，2a）上单调增，在（2a，a-1）上单调减，在（a-1，+∞）上单调增，
      ∴当f（a-1）＜tf（2a）＜f（2a）时，关于x的方程f（x）=tf（2a）有三个不相等的实数根；
      即-（a-1）      2＜t-4a＜4a，
      ∵a＜-1，
      ∴1＜t＜-
      1
      4
      (a+
      1
      a
      -2)，
      设g(a)=-
      1
      4
      (a+
      1
      a
      -2)，
      ∵存在a∈[-2，2]，使得关???x的方程f（x）=tf（2a）有三个不相等的实数根，
      ∴1＜t＜g（a）      max，
      又可证g(a)=-
      1
      4
      (a+
      1
      a
      -2)在[-2，-1）上单调减，
      ∴g（a）      max=
      9
      8
      ，
      ∴1＜t＜
      9
      8
      ；
      综上：1＜t＜
      9
      8
      ．
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