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设f(x)=x+4x,(1)判断f(x)的奇偶性;(2)判断f(x)在(0,2]和[2,+∞)的单调性,并用定义证明.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
设f(x)=x+
4
x
,
(1)判断f(x)的奇偶性;
(2)判断f(x)在(0,2]和[2,+∞)的单调性,并用定义证明.
试题解答
见解析
解:(1)由f(x)=x+
4
x
知,定义域为{x|x≠0}
显然,定义域关于原点对称.
f(-x)=-x+
4
-x
=-(x+
4
x
)=-f(x)
所以.f(x)为奇函数
(2)①任取x
1
<x
2
且x
1
,x
2
∈(0,2]
由题意,f(x
1
)-f(x
2
)=
x
1
+
4
x
1
-(x
2
+
4
x
2
)
=(x
1
-x
2
)+4
x
2
-x
1
x
1
x
2
=(x
1
-x
2
)(1-
4
x
1
x
2
)
因为x
1
<x
2
且x
1
,x
2
∈(0,2]
则x
1
-x
2
<0;
0<x
1
x
2
<4,
4
x
1
x
2
>1,所以1-
4
x
1
x
2
<0
=(x
1
-x
2
)(1-
4
x
1
x
2
)>0
故f(x
1
)>f(x
2
)
所以,f(x)在(0,2]为上的减函数.
②任取x
1
<x
2
且x
1
,x
2
∈[2,+∞)
由题意,f(x
1
)-f(x
2
)=
x
1
+
4
x
1
-(x
2
+
4
x
2
)
=(x
1
-x
2
)+4
x
2
-x
1
x
1
x
2
=(x
1
-x
2
)(1-
4
x
1
x
2
)
因为x
1
<x
2
且x
1
,x
2
∈[2,+∞)
则x
1
-x
2
<0;
x
1
x
2
>4,0<
4
x
1
x
2
<1,所以1-
4
x
1
x
2
>0
=(x
1
-x
2
)(1-
4
x
1
x
2
)<0
故f(x
1
)<f(x
2
)
所以,f(x)在为[2,+∞)上的增函数.
∴f(x)在(0,2]上为减函数,[2,+∞)上为增函数.
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