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已知函数f(x)=4(x-a)x2+4.(a∈R)(Ⅰ)判断f(x)的奇偶性;(Ⅱ)设方程x2-2ax-1=0的两实根为m,n(m<n),证明函数f(x)是[m,n]上的增函数.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
已知函数f(x)=
4(x-a)
x
2
+4
.(a∈R)
(Ⅰ)判断f(x)的奇偶性;
(Ⅱ)设方程x
2
-2ax-1=0的两实根为m,n(m<n),证明函数f(x)是[m,n]上的增函数.
试题解答
见解析
解:(Ⅰ)当a=0时,f(x)=
4x
x
2
+4
,
对任意x∈(-∞,+∞),f(-x)=
4(-x)
(-x)
2
+4
=-
4x
x
2
+4
=-f(x),
∴f(x)为奇函数.
当a≠0时,f(x)=
4(x-a)
x
2
+4
,
取x=±1,得f(-1)+f(1)=-
8
5
a≠0,f(-1)-f(1)=-
8
5
≠0,
∴f(-1)≠-f(1),f(-1)≠f(1),
∴函数f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.
(Ⅱ)证明:因为f(x)=
4(x-a)
x
2
+4
,
所以f′(x)=
4(x
2
+4)-4(x-a)?2x
(x
2
+4)
2
=
-4x
2
+8ax+16
(x
2
+4)
2
=
-4(x
2
-2ax-1)+12
(x
2
+4)
2
设g(x)=x
2
-2ax-1,当x∈[m,n]时,g(x)≤0,即x
2
-2ax-1≤0,
-4(x
2
-2ax-1)≥0,
∴
-4(x
2
-2ax-1)+12
(x
2
+4)
2
>0.
所以f(x)在区间[m,n]上是增函数.
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集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;集合的相等;元素与集合关系的判断;子集与真子集
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第1章 集合
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元素与集合关系的判断
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