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  • （1）已知函数f(x)=2x-12x+1，判断函数的奇偶性，并加以证明．（2）已知函数f(x)=lg1-x1+x，①求f（x）的定义域；②证明函数f（x）是奇函数． ③判断并证明f（x）在定义域内的单调性．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      （1）已知函数f(x)=
      2x-1
      2x+1
      ，判断函数的奇偶性，并加以证明．
      （2）已知函数f(x)=lg
      1-x
      1+x
      ，
      ①求f（x）的定义域；
      ②证明函数f（x）是奇函数．
      ③判断并证明f（x）在定义域内的单调性．

      试题解答

      见解析
      （1）解：∵已知函数f(x)=
      2x-1
      2x+1
      ，
      ∴函数f（x）的定义域为R，且满足f（-x）=
      2-x-1
      2-x+1
      =
      1-2x
      1+2x
      =-
      2x-1
      2x+1
      =-f（x），
      ∴函数f（x）为奇函数．
      （2）解：①∵已知函数f(x)=lg
      1-x
      1+x
      ，∴
      1-x
      1+x
      ＞0，即
      x-1
      x+1
      ＜0，即 （x-1）（x+1）＜0，解得-1＜x＜1，
      故函数的定义域为（-1，1）．
      ②由于函数的定义域为（-1，1），关于原点对称，且满足f（-x）=lg
      1+x
      1-x
      =lg(
      1-x
      1+x
      )-1=-lg
      1-x
      1+x
      =-f（x），
      故函数f（x）为奇函数．
      ③令t（x）=
      1-x
      1+x
      =-1+
      2
      1+x
      ，
      显然函数t（x）在定义域（-1，1）上是减函数．
      证明：设-1＜x      1＜x2＜1，
      则有f（x      1）-f（x2）=[-1+
      2
      1+x1
      ]-[-1+
      2
      1+x2
      ]=
      2
      1+x1
      -
      2
      1+x2
      =
      2(x2-x1)
      (1+x1)(1+x2)
      ．
      由题设可得，（1+x      1）＞0，（1+x2）＞0，2（x2-x1）＞0，
      ∴
      2(x2-x1)
      (1+x1)(1+x2)
      ＞0，即f（x1）＞f（x2），
      故函数t（x）在定义域（-1，1）上是减函数．
      根据复合函数的单调性可得f（x）=lgt（x）=lg
      1-x
      1+x
      在定义域（-1，1）上是减函数．
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