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  • 已知函数f(x)=px2+2-3x，且f(2)=-53．（1）求函数f（x）的解析式；（2）判断f（x）的奇偶性；（3）判断函数f（x）在区间（0，1）上的单调性，并加以证明．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f(x)=
      px2+2
      -3x
      ，且f(2)=-
      5
      3
      ．
      （1）求函数f（x）的解析式；
      （2）判断f（x）的奇偶性；
      （3）判断函数f（x）在区间（0，1）上的单调性，并加以证明．

      试题解答

      见解析
      解：（1）由题意知f(2)=-
      5
      3
      ，f(x)=
      px2+2
      -3x

      即f(2)=
      4p+2
      -6
      =-
      5
      3
      ，解得p=2
      则所求解析式为f(x)=
      2x2+2
      -3x

      （2）由（1）得，f(x)=
      2x2+2
      -3x
      ，则此函数的定义域是{x|x≠0}，
      ∵f（-x）=
      2x2+2
      3x
      =-f（x），
      ∴函数f（x）是奇函数．
      （3）由（1）可得f(x)=
      2x2+2
      -3x
      =-
      2
      3
      (x+
      1
      x
      )，则函数f（x）在区间（0，1）上是增函数，
      证明如下：设0＜x      1＜x2＜1，
      ∴f(x      1)-f(x2)=
      2
      3
      [(x2+
      1
      x2
      )-(x1+
      1
      x1
      )]=
      2
      3
      [(x2-x1)+(
      1
      x2
      -
      1
      x1
      )]
      =
      2
      3
      [(x2-x1)+
      x1-x2
      x1x2
      ]=
      2
      3
      (x1-x2)(
      1
      x1x2
      -1)=
      2
      3
      (x1-x2)×
      1-x1x2
      x1x2

      ∵0＜x      1＜x2＜1，0＜x1x2＜1，1-x1x2＞0，x1-x2＜0，
      ∴f（x      1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）
      ∴函数f（x）在区间（0，1）上是增函数．
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