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若f(x)=a?2x+a-22x+1为奇函数．（1）判断它的单调性；（2）求f（x）的值域．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

若f(x)=

a?2^x+a-2

2^x+1

为奇函数．
（1）判断它的单调性；
（2）求f（x）的值域．

试题解答

见解析

解：（1）∵f（x）是奇函数，且在x=0处有定义，
∴f（0）=0，∴a=1，
∴f(x)=

2^x-1

2^x+1

=1-

2

2^x+1

设x₁＜x₂，则f(x₁)-f(x₂)=

2

2^x₂+1

-

2

2^x₁+1

=

2(2^x₁-2^x₂)

(2^x₁+1)(2^x₂+1)

∵x₁＜x₂则2^x₁＜2^x₂，∴2^x₁-2^x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0即f（x₁）＜f（x₂）
故f（x）在R上递增．
（2）令y=

2^x-1

2^x+1

，则2^x=

1+y

1-y

．由于2^x＞0，所以

1+y

1-y

＞0，解得-1＜y＜1
故f（x）的值域是（-1，1）．

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必修1 人教A版单选题高中数学

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