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  • 设函数f（x）是定义在[-1，0）∪（0，1]上的奇函数，当x∈[-1，0）时，f(x)=ax-x2（a为实数）．（1）若f(12)=-2，求a的值；（2）当x∈（0，1]时，求f（x）的解析式；（3）当a＞2时，试判断f（x）在（0，1]上的单调性，并证明你的结论．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      设函数f（x）是定义在[-1，0）∪（0，1]上的奇函数，当x∈[-1，0）时，f(x)=
      a
      x
      -x2（a为实数）．
      （1）若f(
      1
      2
      )=-2，求a的值；
      （2）当x∈（0，1]时，求f（x）的解析式；
      （3）当a＞2时，试判断f（x）在（0，1]上的单调性，并证明你的结论．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵f（x）是奇函数，∴f(-
      1
      2
      )=-f(
      1
      2
      )=2∴-2a-
      1
      4
      =2，∴a=-
      9
      8
      ．
      （2）设x∈（0，1]，则-x∈[-1，0），∴f(-x)=-
      a
      x
      -x2，∵f （x）是奇函数，
      ∴f（-x）=f（x），∴f(x)=
      a
      x
      +x2．
      （3）当a＞2时，f（x）在（0，1]上单调递减．
      证明：设x      1，x2∈（0，1]且x1＜x2，
      则 f(x      1)-f(x2)=(
      a
      x1
      +x12)-(
      a
      x2
      +x22)=a(
      1
      x1
      -
      1
      x2
      )+(x12-x22)=
      x1-x2
      x1x2
      ?[x1x2?(x1+x2)-a]，
      ∵x      1，x2∈（0，1]，∴
      x1-x2
      x1x2
      ＜0，x1x2?（x1+x2）∈（0，2），
      当a＞2时，x      1x2?（x1+x2）-a＜0，∴f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
      ∴当a＞2时，f（x）在（0，1]上单调递减．
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