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已知函数f(x)=|x-a|-9x+a,x∈[1,6],a∈R.(1)若a=6,写出函数f(x)的单调区间,并指出单调性;(2)若函数f(x)在[1,a]上单调,且存在x0∈[1,a]使f(x0)>-2成立,求a的取值范围;(3)当a∈(1,6)时,求函数f(x)的最大值的表达式M(a).试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
已知函数f(x)=|x-a|-
9
x
+a,x∈[1,6],a∈R.
(1)若a=6,写出函数f(x)的单调区间,并指出单调性;
(2)若函数f(x)在[1,a]上单调,且存在x
0
∈[1,a]使f(x
0
)>-2成立,求a的取值范围;
(3)当a∈(1,6)时,求函数f(x)的最大值的表达式M(a).
试题解答
见解析
解:(1)当a=6时,∵x∈[1,6],∴f(x)=a-x-
9
x
+a=2a-x-
9
x
;任取x
1
,x
2
∈[1,6],且x
1
<x
2
,
则f(x
1
)-f(x
2
)=(2a-x
1
-
9
x
1
)-(2a-x
2
-
9
x
2
)=(x
2
-x
1
)+(
9
x
2
-
9
x
1
)=(x
2
-x
1
)?
x
1
x
2
-9
x
1
x
2
,
当1≤x
1
<x
2
<3时,x
2
-x
1
>0,1<x
1
x
2
<9,∴f(x
1
)-f(x
2
)<0,即f(x
1
)<f(x
2
),∴f(x)是增函数,增区间是[1,3);
当3≤x
1
<x
2
≤6时,x
2
-x
1
>0,x
1
x
2
>9,∴f(x
1
)-f(x
2
)>0,即f(x
1
)>f(x
2
),∴f(x)是减函数,减区间是[3,6];
(2)当x∈[1,a]时,f(x)=a-x-
9
x
+a=-x-
9
x
+2a;
由(1)知,当x∈[1,3)时,f(x)是增函数,当x∈[3,6]时,f(x)是减函数;
∴当a∈(1,3]时,f(x)在[1,a]上是增函数;
且存在x
0
∈[1,a]使f(x
0
)>-2成立,
∴f(x)
max
=f(a)=a-
9
a
>-2,
解得a>
√
10
-1;
综上,a的取值范围是{a|
√
10
-1<a≤3}.
(3)∵a∈(1,6),∴f(x)=
{
2a-x-
9
x
…(1≤x≤a)
x-
9
x
…(a<x≤6)
,
①当1<a≤3时,f(x)在[1,a]上是增函数,在[a,6]上也是增函数,
∴当x=6时,f(x)取得最大值
9
2
.
②当3<a<6时,f(x)在[1,3]上是增函数,在[3,a]上是减函数,在[a,6]上是增函数,
而f(3)=2a-6,f(6)=
9
2
,
当3<a≤
21
4
时,2a-6≤
9
2
,当x=6时,f(x)取得最大值为
9
2
.
当
21
4
≤a<6时,2a-6>
9
2
,当x=3时,f(x)取得最大值为2a-6.
综上得,M(a)=
{
9
2
…(1≤a≤
21
4
)
2a-6 …(
21
4
<a≤6)
.
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