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  • 已知定义在实数集R上的奇函数f(x)=ax+bx2+2（a、b∈R）过已知点（1，-1）．（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）试证明函数f（x）在区间[2，+∞）是增函数；若函数f（x）在区间[c，+∞）（其中c＞0）也是增函数，求c的最小值；（Ⅲ）试讨论这个函数的单调性，并求它的最大值、最小值，在给出的坐标系（见答题卡）中画出能体现主要特征的图简；（Ⅳ）求不等式f(sinx-cosx)＜f((√3-1)cosx)的解集．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知定义在实数集R上的奇函数f(x)=
      ax+b
      x2+2
      （a、b∈R）过已知点（1，-1）．
      （Ⅰ）求函数的解析式；
      （Ⅱ）试证明函数f（x）在区间[2，+∞）是增函数；若函数f（x）在区间[c，+∞）（其中c＞0）也是增函数，求c的最小值；
      （Ⅲ）试讨论这个函数的单调性，并求它的最大值、最小值，在给出的坐标系（见答题卡）中画出能体现主要特征的图简；
      （Ⅳ）求不等式f(sinx-cosx)＜f((
      √3
      -1)cosx)的解集．

      试题解答

      见解析
      解：（Ⅰ）∵奇函数f(x)=
      ax+b
      x2+2
      （a、b∈R），由f（0）=0，求得b=0．
      再由函数的图象过已知点（1，-1），可得
      a×1
      1+2
      =-1，求得a=-3，故f（x）=-
      3x
      x2+2
      ．
      （Ⅱ）当x≥2时，由于f′（x）=
      3x2-6
      (x2+2)2
      ＞0，∴函数f（x）在区间[2，+∞）是增函数．
      令f′（x）=
      3x2-6
      (x2+2)2
      =0，求得 c=
      √2
      ，或 c=-
      √2
      （舍去）．
      当x＞
      √2
      时，f′（x）=
      3x2-6
      (x2+2)2
      ＞0，故函数f（x）在区间[
      √2
      ，+∞）（其中c＞0）也是增函数．
      再由函数f（x）在区间[c，+∞）也是增函数，可得c≥
      √2
      ，即c的最小值为
      √2
      ．
      （Ⅲ）由（2）可知函数f（x）在区间[
      √2
      ，+∞)是增函数，由奇函数可知道，函数f（x）
      在区间(-∞，-
      √2
      ]也是增函数．
      在区间[-
      √2
      ，
      √2
      ]上，由于f′（x）=
      3x2-6
      (x2+2)2
      ＜0，所以，函数f（x）在区间[-
      √2
      ，
      √2
      ]是减函数．
      这样，就???      fmax(x)=f(-
      √2
      )=
      3
      √2
      4
      ，fmin(x)=f(
      √2
      )=-
      3
      √2
      4
      ，图象如下所示．
      （Ⅳ）因为sinx-cosx∈[-
      √2
      ，
      √2
      ]，(
      √3
      -1)cosx∈[-
      √2
      ，
      √2
      ]，
      而由（Ⅲ）知道函数f（x）在区间[-
      √2
      ，
      √2
      ]是减函数，
      这样，不等式f(sinx-cosx)＜f((
      √3
      -1)cosx)可以化为sinx-cosx＞(
      √3
      -1)cosx，
      即sinx＞
      √3
      cosx．
      求得它的解集为{x|
      π
      3
      +2kπ＜x＜
      4π
      3
      +2kπ，k∈Z}．
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