一次函数f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）（x+m），已知f[f（x）]=16x+5．（Ⅰ）求f（x）；（Ⅱ）若g（x）在（1，+∞）单调递增，求实数m的取值范围；（Ⅲ）当x∈[-1，3]时，g（x）有最大值13，求实数m的值．试题及答案-单选题-云返教育

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一次函数f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）（x+m），已知f[f（x）]=16x+5．
（Ⅰ）求f（x）；
（Ⅱ）若g（x）在（1，+∞）单调递增，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）当x∈[-1，3]时，g（x）有最大值13，求实数m的值．

试题解答

见解析

解：（Ⅰ）∵f（x）是R上的增函数，∴设f（x）=ax+b，（a＞0）---------------------（1分）
∴f[f（x）]=a（ax+b）+b=a²x+ab+b=16x+5
∴

{	a²=16 ab+b=5

，---------------------------------（3分）
解得

{

a=4

b=1

或

{

a=-4

b=-

（不合题意舍去）---------------------------------（5分）
∴f（x）=4x+1---------------------------------（6分）
（Ⅱ）g（x）=f（x）（x+m）=（4x+1）（x+m）=4x²+（4m+1）x+m---------------（7分）
对称轴x=-

4m+1

，根据题意可得-

4m+1

≤1，---------------------------------（8分）
解得m≥-

∴m的取值范围为[-

，+∞)---------------------------------（9分）
（Ⅲ）①当-

4m+1

≤1时，即m≥-

时g（x）_max=g（3）=39+13m=13，解得m=-2，符合题意；（11分）
②当-

4m+1

＞1时，即m＜-

时g（x）_max=g（-1）=3-3m=13，解得m=-

，符合题意；（13分）
由①②可得m=-2或m=-

------------------------------（14分）

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必修1 人教A版单选题高中数学

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