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  • 已知函数y=|x|+1，y=√x2-2x+2+t，y=12(x+1-tx)（x＞0）的最小值恰好是方程x3+ax2+bx+c=0的三个根，其中0＜t＜1．（Ⅰ）求证：a2=2b+3；（Ⅱ）设（x1，M），（x2，N）是函数f（x）=x3+ax2+bx+c的两个极值点．①若|x1-x2|=23，求函数f（x）的解析式；②求|M-N|的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数y=|x|+1，y=
      √x2-2x+2+t
      ，y=
      1
      2
      (x+
      1-t
      x
      )（x＞0）的最小值恰好是方程x3+ax2+bx+c=0的三个根，其中0＜t＜1．
      （Ⅰ）求证：a      2=2b+3；
      （Ⅱ）设（x      1，M），（x2，N）是函数f（x）=x3+ax2+bx+c的两个极值点．
      ①若|x      1-x2|=
      2
      3
      ，求函数f（x）的解析式；
      ②求|M-N|的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（Ⅰ）三个函数的最小值依次为1，
      √1+t
      ，
      √1-t
      ，（3分）
      由f（1）=0，得c=-a-b-1
      ∴f（x）=x      3+ax2+bx+c=x3+ax2+bx-（a+b+1）=（x-1）[x2+（a+1）x+（a+b+1）]，
      故方程x      2+（a+1）x+（a+b+1）=0的两根是
      √1-t
      ，
      √1+t
      ．
      故
      √1-t
      +
      √1+t
      =-(a+1)，
      √1-t
      ?
      √1+t
      =a+b+1．（4分）
      (
      √1-t
      +
      √1+t
      )2=(a+1)2，即2+2（a+b+1）=（a+1）2
      ∴a      2=2b+3．（5分）
      （Ⅱ）①依题意x      1，x2是方程f'（x）=3x2+2ax+b=0的根，
      故有      x1+x2=-
      2a
      3
      ，x1x2=
      b
      3
      ，
      且△=（2a）      2-12b＞0，得b＜3．
      由|x      1-x2|=
      √(x1+x2)2-4x1x2
      =
      2
      √a2-3b
      3
      =
      2
      √3-b
      3
      （7分）
      2
      √3-b
      3
      =
      2
      3
      ；得，b=2，a2=2b+3=7．
      由（Ⅰ）知
      √1-t
      +
      √1+t
      =-(a+1)＞0，故a＜-1，
      ∴a=-
      √7
      ，c=-(a+b+1)=
      √7
      -3
      ∴f(x)=x      3-
      √7
      x2+2x+
      √7
      -3．（9分）
      ②|M-N|=|f（x      1）-f（x2）|
      =|（x      13-x23）+a（x12-x22）+b（x1-x2）|
      =|x      1-x2|?|（x1+x2）2-x1x2+a（x1+x2）+b|
      =
      2
      √3-b
      3
      |(-
      2a
      3
      )2-
      b
      3
      +a?(-
      2a
      3
      )+b|
      =
      4
      27
      (3-b)
      3
      2
      （或
      4
      27
      (
      9-a2
      2
      )
      3
      2
      ）．（11分）
      由（Ⅰ）(a+1)      2=(
      √1-t
      +
      √1+t
      )2=2+2
      √1-t2

      ∵0＜t＜1，∴2＜（a+1）      2＜4，
      又a＜-1，
      ∴-2＜a+1＜-
      √2
      ，
      -3＜a＜-
      √2
      -1，3+2
      √2
      ＜a2＜9（或
      √2
      ＜b＜3）（13分）
      ∴0＜|M-N|＜
      4
      27
      (3-
      √2
      )
      3
      2
      ．（15分）
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