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  • 已知函数f（x）=log2（x+1）．当点（x，y）在函数y=f（x）的图象上运动时，点（x3，y2）在函数y=g（x）（x＞-13）的图象上运动．（1）求函数y=g（x）的解析式；（2）求函数F（x）=f（x）-g（x）的零点．（3）函数F（x）在x∈（0，1）上是否有最大值、最小值；若有，求出最大值、最小值；若没有请说明理由．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=log2（x+1）．当点（x，y）在函数y=f（x）的图象上运动时，点（
      x
      3
      ，
      y
      2
      ）在函数y=g（x）（x＞-
      1
      3
      ）的图象上运动．
      （1）求函数y=g（x）的解析式；
      （2）求函数F（x）=f（x）-g（x）的零点．
      （3）函数F（x）在x∈（0，1）上是否有最大值、最小值；若有，求出最大值、最小值；若没有请说明理由．

      试题解答

      见解析
      解：（1）由点（x，y）在函数y=f（x）的图象上运动，得y=log2（x+1），
      由点（
      x
      3
      ，
      y
      2
      ）在函数y=g（x）（x＞-
      1
      3
      ）的图象上运动，得
      y
      2
      =g(
      x
      3
      )，
      ∴g(
      x
      3
      )=
      1
      2
      log2（x+1），令t=
      x
      3
      ，∴x=3t，
      ∴g（t）=
      1
      2
      log2(3t+1)，即g（x）=
      1
      2
      log2(3x+1)；
      （2）函数F（x）=f（x）-g（x）=log      2（x+1）-
      1
      2
      log2(3x+1)，
      令F（x）=0，有log      2（x+1）=
      1
      2
      log2(3x+1)=log2
      √3x+1
      ，
      ∴
      {
      x+1＞0
      3x+1＞0
      x+1=
      √3x+1
      ，解得x=0或x=1，
      ∴函数F（x）的零点是x=0或x=1；
      （3）函数F（x）=f（x）-g（x）=log      2（x+1）-
      1
      2
      log2(3x+1)
      =log      2
      x+1
      √3x+1
      =
      1
      2
      log2
      (x+1)2
      3x+1
      ，
      设t=
      (x+1)2
      3x+1
      =
      1
      9
      ?
      (3x+3)2
      3x+1
      =
      1
      9
      ?
      (3x+1)2+4(3x+1)+4
      3x+1
      =
      1
      9
      (3x+1+
      4
      3x+1
      +4)，
      设m=3x+1，由x∈（0，1）得m∈（1，4），
      函数m+
      4
      m
      在（1，2]上递减，在[2，4）上递增，
      当m=2时m+
      4
      m
      有最小值4，无最大值，
      ∴t有最小值
      8
      9
      ，无最大值．
      ∴函数F（x）在x∈（0，1）内有最小值
      1
      2
      log2
      8
      9
      ，无最大值．
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