试题  
高中数学
小学

数学 语文 英语

初中

数学 语文 英语 物理 化学 生物 地理 历史 思品

高中

数学 语文 英语 物理 化学 生物 地理 历史 政治

  • 设a＞19，函数f（x）=√1-x21+x2+a√1+x21-x2．（1）当a=1时，判断f（x）的单调性；（2）求实数a的范围，使得对于区间[-2√55，2√55]上的任意三个实数r，s，t都存在以f（r）、f（s）、f（t）为边长的三角形．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      设a＞
      1
      9
      ，函数f（x）=
      √
      1-x2
      1+x2
      +a
      √
      1+x2
      1-x2
      ．
      （1）当a=1时，判断f（x）的单调性；
      （2）求实数a的范围，使得对于区间[-
      2
      √5
      5
      ，
      2
      √5
      5
      ]上的任意三个实数r，s，t都存在以f（r）、f（s）、f（t）为边长的三角形．

      试题解答

      见解析
      解：由题意，得f（x）的定义域为（-1，1），且f（x）为偶函数．
      （1）当a=1时，f（x）=
      √
      1-x2
      1+x2
      +
      √
      1+x2
      1-x2

      =
      1-x2
      √1+x2
      √1-x2
      +
      1+x2
      √1-x2
      √1+x2

      =
      2
      √1-x4
      ；
      ∴在x∈[0，1）时，f（x）是增函数；x∈（-1，0]时，f（x）是减函数；
      ∵f（x）为偶函数，
      ∴只对x∈[0，1）时，证明f（x）是增函数即可；
      设0≤x      1＜x2＜1，
      ∴
      √1-x14
      ＞
      √1-x24
      ＞0，
      得
      2
      √1-x14
      ＜
      2
      √1-x24
      ，
      则f（x      1）-f（x2）＜0，
      即f（x      1）＜f（x2），
      ∴x∈[0，1）时，f（x）是增函数；
      （2）设t=
      √
      1-x2
      1+x2
      ，
      ∵x∈[-
      2
      √5
      5
      ，
      2
      √5
      5
      ]，
      ∴t∈[
      1
      3
      ，1]，
      则y=t+
      a
      t
      ；
      原问题转化为求实数a的取值范围，使得y在区间[
      1
      3
      ，1]上，恒有2ymin＞ymax．
      讨论：①当0＜a≤
      1
      9
      时，y=t+
      a
      t
      在[
      1
      3
      ，1]上单调递增，
      ∴y      min=3a+
      1
      3
      ，ymax=a+1，由2ymin＞ymax得a＞
      1
      15
      ，
      ∴
      1
      15
      ＜a≤
      1
      9
      ；
      ②当
      1
      9
      ＜a≤
      1
      3
      时，y=t+
      a
      t
      在[
      1
      3
      ，
      √a
      ]上单调递减，在[
      √a
      ，1]上单调递增，
      ∴y      min=2
      √a
      ，ymax=max{3a+
      1
      3
      ，a+1}=a+1，
      由2y      min＞ymax得7-4
      √3
      ＜a＜7+4
      √3
      ，
      ∴
      1
      9
      ＜a≤
      1
      3
      ；
      ③当
      1
      3
      ＜a＜1时，y=t+
      a
      t
      在[
      1
      3
      ，
      √a
      ]上单调递减，在[
      √a
      ，1]上单调递增，
      ∴y      min=2
      √a
      ，ymax=max{3a+
      1
      3
      ，a+1}=3a+
      1
      3
      ，
      由2y      min＞ymax得
      7-4
      √3
      9
      ＜a＜
      7+4
      √3
      9
      ，
      ∴
      1
      3
      ＜a＜1；
      ④当a≥1时，y=t+
      a
      t
      在[
      1
      3
      ，1]上单调递减，
      ∴y      min=a+1，ymax=3a+
      1
      3
      ，
      由2y      min＞ymax得a＜
      5
      3
      ，
      ∴1≤a＜
      5
      3
      ；
      综上，a的取值范围是{a|
      1
      15
      ＜a＜
      5
      3
      }．
      标签
      必修1人教A版单选题高中数学

    集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;集合的相等;元素与集合关系的判断;子集与真子集相关试题

    MBTS ©2010-2016 edu.why8.cn