已知函数f(x)=a-1|x|．（1）求证：函数y=f（x）在（0，+∞）上是增函数；（2）若f（x）＜2x在（1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围；（3）若函数y=f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]（m≠n），求实数a的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

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已知函数f(x)=a-

|x|

．
（1）求证：函数y=f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（2）若f（x）＜2x在（1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围；
（3）若函数y=f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]（m≠n），求实数a的取值范围．

见解析

解：（1）任取0＜x₁＜x₂＜+∞，
f(x₁)-f(x₂)=a-

|x₁|

-a+

|x₂|

x₂

x₁

x₁-x₂

x₁x₂

＜0
所以：函数y=f（x）在（0，+∞）上是增函数
（2）若f（x）＜2x在（1，+∞）上恒成立，
得a-

＜2x即a＜

+2x
记g(x)=

+2x，在（1，+∞）上是增函数，
得g（x）＞g（1）=3，
所以：a≤3
（3）函数y=f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）
ⅰ）当n＞m＞0时，f（x）在[m，n]上是增函数

{	f(m)=m f(n)=n

，解得：a＞2
ⅱ）当0＞n＞m时，f（x）在[m，n]上是减函数

{	f(m)=n f(n)=m

，解得：a=0
所以：a∈{0}∪（2，+∞）．

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