已知函数f（x）=x|x+1|-x-2．（1）求函数f（x）在区间[-2，2]上的最大值；（2）是否存在区间[m，n]，使得函数的定义域与值域均为[m，n]，若存在，请求出所有可能的区间[m，n]，若不存在，请说明理由．试题及答案-单选题-云返教育

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已知函数f（x）=x|x+1|-x-2．
（1）求函数f（x）在区间[-2，2]上的最大值；
（2）是否存在区间[m，n]，使得函数的定义域与值域均为[m，n]，若存在，请求出所有可能的区间[m，n]，若不存在，请说明理由．

试题解答

见解析

解：（1）f（x）=x|x+1|-x-2=

{	x²-2，x≥-1 -x²-2x-2，x＜-1

，
作出函数图象，如图所示：
可知函数f（x）在区间[-2，-1]上是增函数，在区间（-1，0]上是减函数，在区间（0，2]上是增函数，
又f（-1）=-1，f（2）=2，所以函数f（x）在区间[-2，2]上的最大值为f（2）=2．
（2）f（x）=x|x+1|-x-2=

{	x²-2，x≥-1 -x²-2x-2，x＜-1

，
①当0≤m＜n时，则f（x）在区间[m，n]上单调递增，
故

{	f(m)=m f(n)=n

，∴

{	m²-2=m n²-2=n

，解得m=n=2，矛盾；
②当m＜0时，m≤f（m）≤f（-1）=-1，
若n＜0，则n≤f（-1）=-1，此时f（x）在区???[m，n]上单调递增，
故

{	f(m)=m f(n)=n

，∴

{	-m²-2m-2=m -n²-2n-2=n

，解得

{

m=-2

n=-1

，符合题意；
若n≥0，即m≤-1＜0≤n，此时f（x）在区间[m，n]上的最大值为f（-1）与f（n）中较大者，而f（-1）=-1＜0，
∴f（n）=n，即n²-2=n，解得n=2，
f（x）在区间[m，n]上的最小值为f（0）与f（m）中较小者，
若f（0）=m=-2，此时f（m）=f（-2）=-2=f（0），符合题意；
若f（m）=m，则-m²-2m-2=m且m≤-2，解得m=-2．符合题意；
综上，满足题意的区间有两个：[-2，-1]和[-2，2]．

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必修1 人教A版单选题高中数学

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