已知f（x）=|x2-1|+x2+kx；（Ⅰ）若k=2，求方程f（x）=0的解；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=0在（0，2）上有两个解x1、x2，求k的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

已知f（x）=|x²-1|+x²+kx；
（Ⅰ）若k=2，求方程f（x）=0的解；
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=0在（0，2）上有两个解x₁、x₂，求k的取值范围．

见解析

（I）解：当k=2时，f（x）=|x²-1|+x²+2x=0．
①当x²-1≥1时，即x≥1或x≤-1时，方程化为2x²+2x-1=0，解得x=

-1±

√3

．因为0＜

-1+

√3

＜1，舍去，所以x=

-1-

√3

．
②当x²-1＜0时，即-1＜x＜1，方程化为1+2x=0，解得x=-

，
由①②得，方程f（x）=0的解为x=

-1-

√3

或x=

（II）解：不妨设0＜x₁＜x₂＜2，
因为f（x）=

{	2x²+kx-1 \|x\|＞1 kx+1 x\|≤1

所以f（x）在（0，1]是单调递函数，故f（x）=0在（0，1]上至多一个解，
若x₁，x₂∈（1，2），则x₁x₂=-

＜0，故不符合题意，因此，x₁∈(0，1]，x₂∈（1，2）．
由f（x₁）=0，得k=-

x₁

，所以k≤-1；
由f（x₂）=0，得k=

x₂

-2x₂，所以-

＜k＜-1．
故当-

＜k＜-1时，f（x）=0在（0，2）上有两个解．

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