对函数f（x）=xsinx，现有下列命题：①函数f（x）是偶函数；②函数f（x）的最小正周期是2π；③点（π，0）是函数f（x）的图象的一个对称中心；④函数f（x）在区间[0，π2]上单调递增，在区间[-π2，0]上单调递减．其中是真命题的是（写出所有真命题的序号）．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

对函数f（x）=xsinx，现有下列命题：
①函数f（x）是偶函数；
②函数f（x）的最小正周期是2π；
③点（π，0）是函数f（x）的图象的一个对称中心；
④函数f（x）在区间[0，

]上单调递增，在区间[-

，0]上单调递减．
其中是真命题的是（写出所有真命题的序号）．

①④

解：对于①，由于f（-x）=-xsin（-x）=xsinx=f（x），故函数f（x）是偶函数①正确；
对于②，由于f（x+2π）=（x+2π）sinx≠f（x），故函数f（x）的最小正周期是2π，②不正确；
对于③，由于f（

）+f（

3π

）=

3π

=-π≠0故点（π，0）不是函数f（x）的图象的一个对称中心，故③不正确；
对于④，由于f'（x）=sinx+xcosx，在区间[0，

]上f'（x）＞0，在区间[-

，0]上f'（x）＜0，由此知函数f（x）在区间[0，

]上单调递增，在区间[-

，0]上单调递减，故④正确．
故答案为：①④

标签