已知二次函数f（x）=ax2+bx+1和函数g(x)=bx-1a2x+2b，方程g（x）=x有两个不等非零实根x1、x2（x1＜x2）．（1）证明函数f（x）在（-1，1）上是单调函数；（2）若方程f（x）=0的两实根为x3，x4（x3＜x4），求使x3＜x1＜x2＜x4成立的a的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

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已知二次函数f（x）=ax²+bx+1和函数g(x)=

bx-1

a²x+2b

，方程g（x）=x有两个不等非零实根x₁、x₂（x₁＜x₂）．
（1）证明函数f（x）在（-1，1）上是单调函数；
（2）若方程f（x）=0的两实根为x₃，x₄（x₃＜x₄），求使x₃＜x₁＜x₂＜x₄成立的a的取值范围．

试题解答

见解析

解：（1）由g(x)=

bx-1

a²x+2b

=x?方程a²x²+bx+1=0（*）有不等实根∴△=b²-4a²＞0及a≠0，?|

|＞1，即-

＜-1，或-

＞1
又f（x）的对称轴x=-

?(-1，1)
故f（x）在（-1，1）上是单调函数
（2）因x₁、x₂是方程（*）的根，∴a²x₁²+bx₁+1=0∴bx₁=-a²x₁²-1
同理bx₂=-a²x₂²-1∴f（x₁）=ax₁²+b₁x₁+1=ax₁²-a²x₁²+1=（a-a²）x₁²，同理f（x₂）=（a-a²）x₂²
要使x₃＜x₁＜x₂＜x₄，只需

{	a＞0 f(x₁)＜0 f(x₂)＜0

{	a＞0 a-a²＜0

?a＞1
或

{	a＜0 f(x₁)＞0 f(x₂)＞0

{	a＜0 a-a²＞0

??
故a的取值范围a＞1

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必修1 人教A版单选题高中数学

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