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  • 设函数y=f（x）的定义域为（0，+∞），并且满足三个条件：①对任意正数x，y均有f（xy）=f（x）+f（y）；②当x＞1时，f（x）＜0；③f（3）=-1．（1）求f（1）和f（19）的值；（2）判断并证明y=f（x）在（0，+∞）上的单调性；（3）若存在正数k，使不等式f（kx）+f（2-x）＜2有解，求正数k的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      设函数y=f（x）的定义域为（0，+∞），并且满足三个条件：
      ①对任意正数x，y均有f（xy）=f（x）+f（y）；
      ②当x＞1时，f（x）＜0；
      ③f（3）=-1．
      （1）求f（1）和f（
      1
      9
      ）的值；
      （2）判断并证明y=f（x）在（0，+∞）上的单调性；
      （3）若存在正数k，使不等式f（kx）+f（2-x）＜2有解，求正数k的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵任意正数x，y均有f（xy）=f（x）+f（y）；
      ∴令x=y=1得，f（1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0，
      ∵f（3）=-1，∴令x=3，y=
      1
      3
      ，则f（3×
      1
      3
      ）=f（3）+f（
      1
      3
      ），
      即f（1）=f（3）+f（
      1
      3
      ），
      ∴f（
      1
      3
      ）=f（1）-f（3）=0-（-1）=1．
      f（
      1
      9
      ）=f（
      1
      3
      ×
      1
      3
      ）=f（
      1
      3
      ）+f（
      1
      3
      ）=2f（
      1
      3
      ）=2×1=2．
      （2）y=f（x）在（0，+∞）上的单调递减．
      证明：设x      1，x2是（0，+∞）任意两个变量，且x1＜x2，设x2=tx1，（t＞1），
      则f（x      1）-f（x2）=f（x1）-f（tx1）=f（x1）-f（x1）-f（t）=-f（t）
      ∵当x＞1时，f（x）＜0；
      ∴f（t）＜0，即f（x      1）-f（x2）=-f（t）＞0，
      ∴f（x      1）＞f（x2），
      即y=f（x）在（0，+∞）上的单调递减．
      （3）∵f（
      1
      9
      ）=2，
      ∴不等式f（kx）+f（2-x）＜2等价为f（kx）+f（2-x）＜f（
      1
      9
      ），
      即f[kx（2-x）]＜f（
      1
      9
      ），
      ∵函数在（0，+∞）上的单调递减．
      ∴
      {
      kx(2-x)＞
      1
      9
      x＞0
      2-x＞0
      ，即k＞
      1
      9x(2-x)
      ，x∈(0，2)，
      ∵当x∈（0，2）时，y=
      1
      9x(2-x)
      =
      1
      -9(x2-2x)
      =
      1
      -9(x-1)2+9
      ≤
      1
      9
      ，
      ∴k＞
      1
      9
      ．
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