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已知f(x)为定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)为二次函数,且满足f(2)=1,f(x)在(0,+∞)上的两个零点为1和3.(1)求函数f(x)在R上的解析式;(2)作出f(x)的图象,并根据图象讨论关于x的方程f(x)-c=0(c∈R)根的个数.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
已知f(x)为定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)为二次函数,且满足f(2)=1,f(x)在(0,+∞)上的两个零点为1和3.
(1)求函数f(x)在R上的解析式;
(2)作出f(x)的图象,并根据图象讨论关于x的方程f(x)-c=0(c∈R)根的个数.
试题解答
见解析
解:(1)由题意,当x>0时,设f(x)=a(x-1)(x-3),(a≠0),
∵f(2)=1,∴a=-1,∴f(x)=-x
2
+4x-3,
当x<0时,-x>0,∵f(x)为R上的奇函数,∴f(-x)=-f(x),
∴f(x)=-f(-x)=-[-(-x)
2
+4(-x)-3]=x
2
+4x+3,
即x<0时,f(x)=x
2
+4x+3,
当x=0时,由f(-x)=-f(x)得:f(0)=0,
所以f(x)=
{
-x
2
+4x-3,x>0
0,x=0
x
2
+4x+3,x<0
.
(2)作出f(x)的图象(如图所示)
由f(x)-c=0得:c=f(x),在图中作y=c,
根据交点讨论方程的根:
当c≥3或c≤-3时,方程有1个根;
当1<c<3或-3<c<-1时,方程有2个根;
当c=-1或c=1时,方程有3个根;
当0<c<1或-1<c<0时,方程有4个根;
当c=0时,方程有5个根.
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