已知函数f（x）=|x|?（a-x），a∈R．（Ⅰ）当a=4时，画出函数f（x）的大致图象，并写出其单调递增区间；（Ⅱ）若函数f（x）在x∈[0，2]上是单调递减函数，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若a＞0，当实数c分别取何值时，集合{x|f（x）=c}为单元素集，两元素集，三元素集？试题及答案-单选题-云返教育

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已知函数f（x）=|x|?（a-x），a∈R．
（Ⅰ）当a=4时，画出函数f（x）的大致图象，并写出其单调递增区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在x∈[0，2]上是单调递减函数，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若a＞0，当实数c分别取何值时，集合{x|f（x）=c}为单元素集，两元素集，三元素集？

见解析

解：（Ⅰ）a=4时，f(x)=

{	x²-4x (x＜0) -x²+4x (x≥0)

，
f（x）的图象如图．--------（2分）
结合函数的图象，可得单调递增区间为[0，2]．-----（4分）
（Ⅱ）x∈[0，2]时，f(x)=x(a-x)=-x²+ax=-(x-

)²+

a²

若函数f（x）在x∈[0，2]上是单调递减函数，则

≤0，
∴a∈（-∞，0]．---（7分）
（Ⅲ）f(x)=

{	-x(a-x) ，(x＜0) x(a-x)， (x≥0)

，
即 f(x)=

{

(x-

)²-

a²

，(x＜0)

-(x-

)²+

a²

， (x≥0)

，
由图象知，当c∈(-∞，0)∪(

a²

，+∞) 时，函数f（x）的图象与直线y=c有一个交点，
方程f（x）=c的解集是单元素集；
当c=0或

a²

时，函数f（x）的图象与直线y=c有2个交点，方程f（x）=c的解集是两元素集；
当c∈(0，

a²

)时，函数f（x）的图象与直线y=c有3个交点，方程f（x）=c的解集是三元素集．

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