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设椭圆C:的一个顶点与抛物线:的焦点重合,F1、F2分别是椭圆的左、右焦点,离心率,过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C交于M、N两点.(I)求椭圆C的方程;(Ⅱ)是否存在直线l,使得,若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由;(Ⅲ)若AB是椭圆C经过原点O的弦,MN∥AB,求的值.试题及答案-解答题-云返教育
试题详情
设椭圆C:
的一个顶点与抛物线:
的焦点重合,F
1
、F
2
分别是椭圆的左、右焦点,离心率
,过椭圆右焦点F
2
的直线l与椭圆C交于M、N两点.
(I)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)是否存在直线l,使得
,若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由;
(Ⅲ)若AB是椭圆C经过原点O的弦,MN∥AB,求
的值.
试题解答
见解析
(I)抛物线
的焦点坐标为(0,
),可得椭圆的上顶点为(0,
),得b=
∵椭圆的离心率
,得
=
,解得a=
,c=1
∴椭圆C的方程是
(II)由(I)得椭圆C的右焦点为F
2
(1,0)
①当直线l与x轴垂直时,直线l斜率不存在,此时M(1,
),N(1,-
)
∴
=1×1+
×(-
)=-
,不符合题意;
②当直线l与x轴不垂直时,设直线方程l:y=k(x-1),且M(x
1
,y
1
),N(x
2
,y
2
)
由
,得(2+3k
2
)x
2
-6k
2
x+3k
2
-6=0
x
1
+x
2
=
,x
1
?x
2
=
∴
=x
1
?x
2
+y
1
?y
2
=x
1
?x
2
+k
2
[x
1
?x
2
-(x
1
+x
2
)+1]=(1+k
2
)x
1
?x
2
-k
2
(x
1
+x
2
)+k
2
=-1
即(1+k
2
)?
-k
2
?
+k
2
=-1
解之得k=
,故直线l的方程是y=
(x-1)或y=-
(x-1).
(III)设M(x
1
,y
1
),N(x
2
,y
2
),A(x
3
,y
3
),B(x
4
,y
4
)
由(II)得|MN|=
=
|x
1
-x
2
|
=
=
=
由
消去y,整理得
∴|AB|=
=
|x
3
-x
4
|=2
∴
=
=6.
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