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  • 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CE是斜边AB上的中线，AB=10，tanA=43，点P是CE延长线上的一动点，过点P作PQ⊥CB，交CB延长线于点Q，设EP=x，BQ=y．（1）求y关于x的函数关系式及定义域；（2）连接PB，当PB平分∠CPQ时，求PE的长；（3）过点B作BF⊥AB交PQ于F，当△BEF和△QBF相似时，求x的值．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CE是斜边AB上的中线，AB=10，tanA=
      4
      3
      ，点P是CE延长线上的一动点，过点P作PQ⊥CB，交CB延长线于点Q，设EP=x，BQ=y．
      （1）求y关于x的函数关系式及定义域；
      （2）连接PB，当PB平分∠CPQ时，求PE的长；
      （3）过点B作BF⊥AB交PQ于F，当△BEF和△QBF相似时，求x的值．

      试题解答

      见解析
      解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
      ∵tanA=
      BC
      AC
      =
      4
      3
      ，AB=10，
      ∴BC=8，AC=6，
      ∵CE是斜边AB上的中线，
      ∴CE=BE=
      1
      2
      AB=5，
      ∴∠PCB=∠ABC，
      ∵∠PQC=∠ACB=90°，
      ∴△PCQ∽△ABC，
      ∴
      CQ
      PC
      =
      BC
      AB
      =
      4
      5
      ，
      即
      8+y
      5+x
      =
      4
      5
      ，
      ∴y=
      4
      5
      x-4，定义域为x＞5．

      （2）过点B作BM⊥PC，垂足为M．
      ∵PB平分∠CPQ，BQ⊥PQ，垂足为Q．
      ∴BM=BQ=y，
      ∵tanA=
      4
      3
      =
      BC
      AC
      ，
      设AC=3x，则BC=4x，AB=5x，
      ∴sin∠MCB=
      BM
      BC
      =
      AC
      AB
      =
      3
      5
      ，
      ∴BM=
      3
      5
      BC=
      3
      5
      ×8=
      24
      5
      ，
      ∴
      4
      5
      x-4=
      24
      5
      ，
      ∴x=11，

      （3）∵∠Q=∠ACB=90°，∠QBF=∠A，
      ∴△BQF∽△ABC，
      当△BEF和△QBF相似时，
      可得△BEF和△ABC也相似．
      分两种情况：
      ①当∠FEB=∠A时，
      在Rt△FBE中，∠FBE=90°，BE=5，BF=
      5
      3
      y
      ∴
      5
      3
      (
      4
      5
      x-4)=
      4
      3
      ×5，
      解得x=10；
      ②当∠FEB=∠ABC时，
      在Rt△FBE中，∠FBE=90°，BE=5，BF=
      5
      3
      y
      ∴
      5
      3
      (
      4
      5
      x-4)=
      3
      4
      ×5，
      解得x=
      125
      16
      ；
      综合①②，x=
      125
      16
      或10．
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