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  • 由三颗星体构成的系统，忽略其它星体对它们的作用，存在着一种运动形式：三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动（图示为A、B、C三颗星体质量不相同时的一般情况）．若A星体质量为2m，B、C两星体的质量均为m，三角形的边长为a，求：（1）A星体所受合力大小FA；（2）B星体所受合力大小FB；（3）C星体的轨道半径RC；（4）三星体做圆周运动的周期T．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      由三颗星体构成的系统，忽略其它星体对它们的作用，存在着一种运动形式：三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动（图示为A、B、C三颗星体质量不相同时的一般情况）．若A星体质量为2m，B、C两星体的质量均为m，三角形的边长为a，求：
      （1）A星体所受合力大小F      A；
      （2）B星体所受合力大小F      B；
      （3）C星体的轨道半径R      C；
      （4）三星体做圆周运动的周期T．

      试题解答

      见解析
      解：（1）由万有引力定律，A星受到B、C的引力的大小：
      FBA=FCA=
      GmAmc
      a2
      =
      G?2m2
      a2

      方向如图，则合力的大小为：      FA=2FBA?cos30°=2
      √3
      Gm2
      a2

      （2）同上，B星受到的引力分别为：      FAB=
      G?2m2
      a2
      ，FCB=
      GmBmC
      a2
      =
      Gm2
      a2
      ，方向如图；

      沿x方向：      FBx=FAB?cos60°+FCB=2
      Gm2
      a2

      沿y方向：      FBy=FAB?sin60°=
      √3
      Gm2
      a2

      可得：      FB=
      √F
      2
      Bx
      +F
      2
      By
      =
      √7
      Gm2
      a2

      （3）通过对于B的受力分析可知，由于：      FAB=
      G?2m2
      a2
      ，FCB=
      GmBmC
      a2
      =
      Gm2
      a2
      ，合力的方向经过BC的中垂线AD的中点，所以圆心O一定在BC的中垂线AD的中点处．所以：RC=RB=
      √(
      1
      2
      a)2+(
      √3
      4
      a)2
      =
      √7
      4
      a
      （4）由题可知C的受力大小与B的受力相同，对C星：      FC=FB=
      √7
      Gm2
      a2
      =m(
      2π
      T
      )2RC
      整理得：T=π?
      √
      a3
      Gm

      答：（1）A星体所受合力大小是2
      √3
      Gm2
      a2
      ；（2）B星体所受合力大小是
      √7
      Gm2
      a2
      ；（3）C星体的轨道半径是
      √7
      4
      a；（4）三星体做圆周运动的周期T是π?
      √
      a3
      Gm
      ．
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      必修2沪科版解答题高中物理

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