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  • 图（a）所示的装置中，小物块AB质量均为m，水平面上PQ段长为l，与物块间的动摩擦因数为μ，其余段光滑．初始时，挡板上的轻质弹簧处于原长；长为r的连杆位于图中虚线位置；A紧靠滑杆（AB间距大于2r）．随后，连杆以角速度ω匀速转动，带动滑杆做水平运动，滑杆的速度-时间图象如图（b）所示．A在滑杆推动下运动，并在脱离滑杆后与静止的B发生完全非弹性碰撞．（1）求A脱离滑杆时的速度v0，及A与B碰撞过程的机械能损失△E．（2）如果AB不能与弹簧相碰，设AB从P点到运动停止所用的时间为t1，求ω的取值范围，及t1与ω的关系式．（3）如果AB能与弹簧相碰，但不能返回到P点左侧，设每次压缩弹簧过程中弹簧的最大弹性势能为Ep，求ω的取值范围，及Ep与ω的关系式（弹簧始终在弹性限度内）．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      图（a）所示的装置中，小物块AB质量均为m，水平面上PQ段长为l，与物块间的动摩擦因数为μ，其余段光滑．初始时，挡板上的轻质弹簧处于原长；长为r的连杆位于图中虚线位置；A紧靠滑杆（AB间距大于2r）．随后，连杆以角速度ω匀速转动，带动滑杆做水平运动，滑杆的速度-时间图象如图（b）所示．A在滑杆推动下运动，并在脱离滑杆后与静止的B发生完全非弹性碰撞．

      （1）求A脱离滑杆时的速度v      0，及A与B碰撞过程的机械能损失△E．
      （2）如果AB不能与弹簧相碰，设AB从P点到运动停止所用的时间为t      1，求ω的取值范围，及t1与ω的关系式．
      （3）如果AB能与弹簧相碰，但不能返回到P点左侧，设每次压缩弹簧过程中弹簧的最大弹性势能为E      p，求ω的取值范围，及Ep与ω的关系式（弹簧始终在弹性限度内）．

      试题解答

      见解析
      （1）滑杆达到最大速度时A与其脱离．由题意，得：
      v      0=ωr…①
      设AB碰撞后的共同速度为v      1，由动量守恒定律
      mv      0=2mv1…②
      碰撞过程中的机械能损失为
      △E=
      1
      2
      mv02-
      1
      2
      （2m）v12…③
      △E=
      1
      4
      mω2r2…④
      （2）若AB不与弹簧相碰，P到Q过程，由动能定理，得
      μ（2m）gl=
      1
      2
      （2m）v12…⑤
      联立①②⑤，得对应AB运动到Q点的连杆角速度ω      1
      ω      1=
      2
      √2μgl
      r
      …⑥
      ω的取值范围：0＜ω≤
      2
      √2μgl
      r
      …⑦
      设AB在PQ段加速度大小为a，由运动学规律，得：
      v      1=at1…⑧
      μ（2m）g=2ma…⑨
      联立①②⑧⑨，得：
      t      1=
      ωr
      2μg
      ，（0＜ω≤
      2
      √2μgl
      r
      ）
      （3）若AB压缩弹簧后反弹，由动能定理，得：
      μ（2m）g（l+l）=
      1
      2
      （2m）v12
      联立①②，得对应AB刚好反弹回P点的连杆角速度ω      2
      ω      2=
      4
      √μgl
      r

      ω的取值范围：
      2
      √2μgl
      r
      ＜ω≤
      4
      √μgl
      r

      由功能关系：E      p=
      1
      2
      （2m）v12-μ（2m）gl
      得：E      p=
      1
      4
      mω2r2-2μmgl，（
      2
      √2μgl
      r
      ＜ω≤
      4
      √μgl
      r
      ）
      答：（1）A脱离滑杆时的速度为ωr，A与B碰撞过程的机械能损失△E为=
      1
      4
      mω2r2．
      （2）如果AB不能与弹簧相碰，设AB从P点到运动停止所用的时间为t      1，ω的取值范围为0＜ω≤
      2
      √2μgl
      r
      ，t1与ω的关系式为t1=
      ωr
      2μg
      ，（0＜ω≤
      2
      √2μgl
      r
      ）．
      （3）如果AB能与弹簧相碰，但不能返回到P点左侧，设每次压缩弹簧过程中弹簧的最大弹性势能为E      p，ω的取值范围为
      2
      √2μgl
      r
      ＜ω≤
      4
      √μgl
      r
      ，Ep与ω的关系式为Ep=
      1
      4
      mω2r2-2μmgl，（
      2
      √2μgl
      r
      ＜ω≤
      4
      √μgl
      r
      ）（弹簧始终在弹性限度内）．
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