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  • 已知f（x）+2f（1x）=3x．（1）求f（x）的解析式，并标注定义域；（2）指出f（x）的单调区间，并用定义加以证明．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      已知f（x）+2f（
      1
      x
      ）=3x．
      （1）求f（x）的解析式，并标注定义域；
      （2）指出f（x）的单调区间，并用定义加以证明．

      试题解答

      见解析
      解：（1）由 f(x)+2f(
      1
      x
      )=3x①
      用
      1
      x
      代替x，得 f(
      1
      x
      )+2f(x)=
      3
      x
      ②
      ②×2-①，得 3f(x)=
      6
      x
      -3x，
      所以 f(x)=
      2
      x
      -x，（x≠0）
      （2）由（1），f(x)=
      2
      x
      -x，x≠0，
      其递减区间为（-∞，0）和（0，+∞），无增区间．
      事实上，任取x      1，x2∈（-∞，0）且x1＜x2，
      则f(x      1)-f(x2)=
      2
      x1
      -x1-
      2
      x2
      +x2=
      2(x2-x1)
      x1x2
      -(x1-x2)=(x2-x1)?
      2+x1x2
      x1x2

      ∵x      1＜x2＜0∴x2-x1＞0，x1x2＞0，2+x1x2＞0，
      所以 (x      2-x1)?
      2+x1x2
      x1x2
      ＞0，即f（x1）＞f（x2）
      故f（x）在（-∞，0）上递减．同理可证其在（0，+∞）上也递减．
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