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  • 试构造函数f（x）使得：（1）f（x）定义域为（0，1），值域为[0，1]；（2）f（x）定义域为（0，1），值域为[0，1]且f（x）值域上每一点有且只有一个原象与之对应；（3）f（x）定义域为（0，1），值域为[0，1]且f（x）值域上每一点都有无数个原象与之对应．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      试构造函数f（x）使得：
      （1）f（x）定义域为（0，1），值域为[0，1]；
      （2）f（x）定义域为（0，1），值域为[0，1]且f（x）值域上每一点有且只有一个原象与之对应；
      （3）f（x）定义域为（0，1），值域为[0，1]且f（x）值域上每一点都有无数个原象与之对应．

      试题解答

      见解析
      解：（1）f（x）是从（0，1）到[0，1]的一个映射，（跟证明（0，1）与[0，1]中的点一样多等价）
      取子序列
      1
      2
      ，
      1
      4
      ，
      1
      8
      ，…，
      1
      2n
      ，…n∈N*；
      与0，1，
      1
      2
      ，
      1
      4
      ，…，进行对应，而其他的点不变，就构成从（0，1）到[0，1]的一个映射f，即函数f（x）满足条件；
      （2）f（x）=
      {
      2x，x=
      1
      2n
      3x，x=
      1
      3n
      0，x=
      1
      3
      x，x∈(0，1)，x≠
      1
      2n
      ，x≠
      1
      3n
      ，n∈N*

      ①f（x）=x，x∈﹙0，1﹚，且x≠
      1
      2n
      ，x≠
      1
      3n
      时，
      f（x）的图象是f（x）=x挖去x=0，x=1，x=
      1
      2n
      和x=
      1
      3n
      点，除去这些点外时取x=a，
      ∴f（x）=a只有一解，此时f（x）值域不能取到0，1，
      1
      2n
      ，
      1
      3n
      这些值；
      ②x=
      1
      3
      时f（x）=0，即只能在x=
      1
      3
      处取得；
      ③f（
      1
      2
      ）=1，f（
      1
      4
      ）=
      1
      2
      ，f（
      1
      8
      ）=
      1
      4
      ，…，∴f（x）的值域能取到1，
      1
      2
      ，…，
      1
      2n
      ，且满足唯一性；
      ④f（
      1
      3
      ）=0，f（
      1
      9
      ）=
      1
      3
      ，f（
      1
      27
      ）=
      1
      9
      ，…，∴f（x）值域能取到0，
      1
      3
      ，…，
      1
      3n
      ，且满足唯一性；
      （3）f（x）=sin
      1
      x
      ，x∈（0，1）；
      当x∈（0，1）时，
      1
      x
      ∈（1，+∞），∴sin
      1
      x
      ∈[0，1]；
      ∴f（x）的值域是[0，1]，且对于任意a∈[0，1]，f﹙x﹚=a有无穷多个解．
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