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  • 根据函数单调性的定义，证明函数f （x）=-x3+1在（-∞，+∞）上是减函数．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      根据函数单调性的定义，证明函数f （x）=-x3+1在（-∞，+∞）上是减函数．

      试题解答

      见解析
      证明：证法一：在（-∞，+∞）上任取x1，x2且x1＜x2
      则f（x      2）-f（x1）=x13-x23=（x1-x2）（x12+x1x2+x22）
      ∵x      1＜x2，
      ∴x      1-x2＜0．
      当x      1x2＜0时，有x12+x1x2+x22=（x1+x2）2-x1x2＞0；
      当x      1x2≥0时，有x12+x1x2+x22＞0；
      ∴f（x      2）-f（x1）=（x1-x2）（x12+x1x2+x22）＜0．
      即f（x      2）＜f（x1）
      所以，函数f（x）=-x      3+1在（-∞，+∞）上是减函数．

      证法二：在（-∞，+∞）上任取x      1，x2，且x1＜x2，
      则f（x      2）-f（x1）=x13-x23=（x1-x2）（x12+x1x2+x22）．
      ∵x      1＜x2，
      ∴x      1-x2＜0．
      ∵x      1，x2不同时为零，
      ∴x      12+x22＞0．
      又∵x      12+x22＞
      1
      2
      （x12+x22）≥|x1x2|≥-x1x2
      ∴x      12+x1x2+x22＞0，
      ∴f（x      2）-f（x1）=（x1-x2）（x12+x1x2+x22）＜0．
      即f（x      2）＜f（x1）．
      所以，函数f（x）=-x      3+1在（-∞，+∞）上是减函数．
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