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已知f(x)为定义在[-1,1]上的奇函数,且当x∈(0,1]时,f(x)=2x4x+1.(1)试用函数单调性定义证明:f(x)在(0,1]上是减函数;(2)求函数f(x)在[-1,1]上的解析式;(3)要使方程f(x)=x+b在区间[-1,1]上恒有实数解,求实数b的取值范围.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
已知f(x)为定义在[-1,1]上的奇函数,且当x∈(0,1]时,f(x)=
2
x
4
x
+1
.
(1)试用函数单调性定义证明:f(x)在(0,1]上是减函数;
(2)求函数f(x)在[-1,1]上的解析式;
(3)要使方程f(x)=x+b在区间[-1,1]上恒有实数解,求实数b的取值范围.
试题解答
见解析
解:(1)对于任意x
1
,x
2
∈(0,1],且x
1
>x
2
,有
f(x
1
)-f(x
2
)=
2
x
1
4
x
1
+1
-
2
x
2
4
x
2
+1
=
2
x
1
(4
x
2
+1)-2
x
2
(4
x
1
+1)
(4
x
1
+1)(4
x
2
+1)
=
(2
x
1
+x
2
-1)(
2
x
2
-2
x
1
)
(2
x
1
+1)(4
x
2
+1)
;
∵x
1
>x
2
>0,∴x
1
+x
2
>0,
∴2
x
1
+x
2
>1,4
x
1
+1>0,4
x
2
+1>0;
又函数y=2
x
在R内递增,
∴2
x
1
>2
x
2
,
∴2
x
2
-2
x
1
<0;
∴f(x
1
)-f(x
2
)<0,
即f(x
1
)<f(x
2
);
∴f(x)在 (0,1]上是减函数;
(2)由题意f(x)为定义在[-1,1]上的奇函数,
∴f(0)=0;
又x∈(0,1]时,f(x)=
2
x
4
x
+1
,
∴x∈[-1,0)时,-x∈(0,1],
∴f(-x)=
2
-x
4
-x
+1
=
2
x
4
x
+1
,
∴f(x)=-f(-x)=-
2
x
4
x
+1
;
综上,函数f(x)在[-1,1]上的解析式为
f(x)=
{
2
x
4
x
+1
,x∈(0,1]
0, x=0
-
2
x
4
x
+1
,x∈[-1,0)
;
(3)方程f(x)=x+b 可化为f(x)-x=b,
记g(x)=f(x)-x,
由(1)及题设知,g(x)在[-1,1]为奇函数,且在(0,1]上是减函数,
∴当x∈(0,1]时,
g
max
(x)=g(0)=
1
2
,
g
min
(x)=g(1)=-
3
5
,
∴g(x)∈[-
3
5
,
1
2
),
由奇函数的性质,得x∈[-1,0]时,g(x)∈(-
1
2
,
3
5
],
综上,g(x)值域为[-
3
5
,
3
5
],
∴当y=g(x) 图象与直线y=b 有公共点时,b的范围为[-
3
5
,
3
5
],
也即方程f(x)=x+b 在[-1,1]上恒有实数解时b的取值范围为[-
3
5
,
3
5
].
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