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已知函数f(x)=-x2+mx-m.(1)若函数f(x)的值域是(-∞,0],求实数m的值;(2)若函数f(x)在[-1,0]上单调递减,求实数m的取值范围;(3)是否存在实数m,使得f(x)在[2,3]上的值域恰好是[2,3]?若存在,求出实数m的值;若不存在,说明理由.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
已知函数f(x)=-x
2
+mx-m.
(1)若函数f(x)的值域是(-∞,0],求实数m的值;
(2)若函数f(x)在[-1,0]上单调递减,求实数m的取值范围;
(3)是否存在实数m,使得f(x)在[2,3]上的值域恰好是[2,3]?若存在,求出实数m的值;若不存在,说明理由.
试题解答
见解析
解:(1)∵函数f(x)=-x
2
+mx-m,值域是(-∞,0],
且二次函数f(x)图象是抛物线,开口向下,
∴f(x)有且只有一个值y=0,
即△=m
2
-4m=0,
解得m=0,或m=4;
∴m的值为0或4.
(2)函数f(x)=-x
2
+mx-m图象是抛物线,开口向下,对称轴是x=
m
2
;要使f(x)在[-1,0]上是单调递减的,应满足
m
2
≤-1,∴m≤-2;
∴m的取值范围是{m|m≤-2}.
(3)当
m
2
≤2,即m≤4时,f(x)在[2,3]上是减函数,
若存在实数m,使f(x)在[2,3]上的值域是[2,3],
则有
{
f(2)=3
f(3)=2
,即
{
-4+2m-m=3
-9+3m-m=2
,解得m不存在;
当
m
2
≥3,即m≥6时,f(x)在[2,3]上是增函数,
则有
{
f(2)=2
f(3)=3
,即
{
-4+2m-m=2
-9+3m-m=3
,解得m=6;
当2<
m
2
<3,即4<m<6时,f(x)在[2,3]上先增后减,所以f(x)在x=
m
2
处取最大值;
∴f(
m
2
)=-
(
m
2
)
2
+m?(-
m
2
)-m=3,
解得m=-2或6(不满足条件,舍去);
∴综上,存在实数m=6,使f(x)在[2,3]上的值域恰好是[2,3].
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