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已知函数y=x+ax有如下性质:如果常数a>0,那么该函数在(0,√a]上是减函数,在[√a,+∞)???是增函数.(1)如果函数y=x+2bx(x>0)的值域为[6,+∞),求b的值;(2)研究函数y=x2+cx2(常数c>0)在定义域内的单调性,并说明理由;(3)对函数y=x+ax和y=x2+ax2(常数a>0)作出推广,使它们都是你所推广的函数的特例.研究推广后的函数的单调性(只须写出结论,不必证明).试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
已知函数y=x+
a
x
有如下性质:如果常数a>0,那么该函数在(0,
√
a
]上是减函数,在[
√
a
,+∞)???是增函数.
(1)如果函数y=x+
2
b
x
(x>0)的值域为[6,+∞),求b的值;
(2)研究函数y=x
2
+
c
x
2
(常数c>0)在定义域内的单调性,并说明理由;
(3)对函数y=x+
a
x
和y=x
2
+
a
x
2
(常数a>0)作出推广,使它们都是你所推广的函数的特例.研究推广后的函数的单调性(只须写出结论,不必证明).
试题解答
见解析
解:(1)由函数y=x+
a
x
性质知:
当x=
√
2
b
时,函数y=x+
2
b
x
(x>0)的最小值是2
√
2
b
,则2
√
2
b
=6,
解得b=log
2
9.
(2)设0<x
1
<x
2
,
则y
2
-y
1
=
x
2
2
+
c
x
2
2
-
x
2
1
-
c
x
2
1
=(
x
2
2
-
x
2
1
)(1-
c
x
2
1
?
x
2
2
)=
(x
2
-x
1
)(x
2
+x
1
)(
x
1
2
x
2
2
-c)
x
1
2
x
2
2
.
当
4
√
c
<x
1
<x
2
时,y
2
>y
1
,函数y=
x
2
+
c
x
2
在[
4
√
c
,+∞)上是增函数;
当0<x
1
<x
2
<
4
√
c
时,y
2
<y
1
,函数y=
x
2
+
c
x
2
在(0,
4
√
c
]上是减函数.
又y=
x
2
+
c
x
2
是偶函数,
所以该函数在(-∞,-
4
√
c
]上是减函数,在[-
4
√
c
,0)上是增函数;
(3)可以把函数推广为y=
x
n
+
a
x
n
(常数a>0),其中n是正整数.
当n是奇数时,函数y=
x
n
+
a
x
n
在(0,
2n
√
a
]上是减函数,在[
2n
√
a
,+∞)上是增函数,
在(-∞,-
2n
√
a
]上是增函数,在[-
2n
√
a
,0)上是减函数;
当n是偶数时,函数y=
x
n
+
a
x
n
在(0,
2n
√
a
]上是减函数,在[
2n
√
a
,+∞) 上是增函数,
在(-∞,-
2n
√
a
]上是减函数,在[-
2n
√
a
,0)上是增函数.
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