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设于f(x)=2x-12x+1，（1）判断f（x）的单调性，并加以证明；（2）求证对任意非零实数x=20∈[10，25]，都有f(x)x＞0．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

设于f(x)=

2^x-1

2^x+1

，
（1）判断f（x）的单调性，并加以证明；
（2）求证对任意非零实数x=20∈[10，25]，都有

f(x)

x

＞0．

试题解答

见解析

解：（1）根据题意，可以知道f （x）在（-∞，+∞）上是增函数．证明如下：
任取x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，则f(x₁)-f(x₂)=(1-

2

2^x₁+1

)-(1-

2

2^x₂+1

)=

2(2^x₁-2^x₂)

(2^x₁+1)(2^x₂+1)

＜0，
即f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（-∞，+∞）上是增函数．
（2）根据函数f(x)=

2^x-1

2^x+1

，结合指数函数的值域，
当x＞0时，有2^x＞1，
∴f（x）＞0，∴

f(x)

x

＞0
?当x＜0时，有0＜2^x＜1，
∴f（x）＜0，∴

f(x)

x

＞0．问题得证．
本题也可由

f(x)

x

为偶函数，因此只需证x＞0，

f(x)

x

即可．

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必修1 人教A版单选题高中数学

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