若函数y=f（x）（x∈D）同时满足以下条件：①它在定义域D上是单调函数；②存在区间[a，b]?D使得f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，我们将这样的函数称作“A类函数”，（1）函数y=2x-log2x是不是“A类函数”？如果是，试找出[a，b]；如果不是，试说明理由；（2）求使得函数f（x）=12x-kx+1，x∈（0，+∞）是“A类函数”的常数k的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

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若函数y=f（x）（x∈D）同时满足以下条件：
①它在定义域D上是单调函数；②存在区间[a，b]?D使得f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，我们将这样的函数称作“A类函数”，
（1）函数y=2x-log₂x是不是“A类函数”？如果是，试找出[a，b]；如果不是，试说明理由；
（2）求使得函数f（x）=

+1，x∈（0，+∞）是“A类函数”的常数k的取值范围．

试题解答

见解析

解：（1）求导函数，可得y′=2-

xln2

，令y′=0，则x=

2ln2

，
∴函数y=2x-log₂x在（0，

2ln2

）上y′＜0，函数单调减，在（

2ln2

，+∞）上y′＞0，函数单调增
∴函数y=2x-log₂x不是“A类函数”；
（2）求导函数，可得f′（x）=

x²

，则k＞0时，f′（x）＞0，函数在（0，+∞）上单调增
设函数f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，[a，b]∈（0，+∞）
∴a，b是方程

+1=x的两个不等的正根
∴a，b是方程x²-2x+2k=0的两个不等的正根
∴

{	△=4-8k＞0 k＞0

∴0＜k＜

综上，0＜k＜

时，函数f（x）=

+1，x∈（0，+∞）是“A类函数”．

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必修1 人教A版单选题高中数学

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