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  • 已知函数f（x）=x+4x（1）证明：f（x）在区间（0，2）单调递减．（2）求函数f（x）在（-∞，0）上最大值．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=x+
      4
      x

      （1）证明：f（x）在区间（0，2）单调递减．
      （2）求函数f（x）在（-∞，0）上最大值．

      试题解答

      见解析
      证明：（1）∵f（x）=x+
      4
      x
      （且x≠0），∴任取x1，x2∈（0，2），且x1＜x2，
      则f（x      1）-f（x2）=（x1+
      4
      x1
      ）-（x2+
      4
      x2
      ）=（x1-x2）+（
      4
      x1
      -
      4
      x2
      ）=
      (x1-x2)(x1x2-4)
      x1x2
      ；
      ∵0＜x      1＜x2＜2，∴x1-x2＜0，0＜x1x2＜4，∴x1x2-4＜0，
      ∴f（x      1）-f（x2）＞0，
      即f（x      1）＞f（x2），
      ∴f（x）是（0，2）上的减函数；
      （2）∵f（x）=x+
      4
      x
      （且x≠0），
      ∴f，（x）=1-
      4
      x2
      ，令f，（x）=0，则x=±2；
      当x＜-2时，f，（x）＞0，f（x）是增函数；当0＞x＞-2时，f，（x）＜0，f（x）是减函数；
      ∴当x=-2时，f（x）在（-∞，0）上有最大值f（x）      max=-2+
      4
      -2
      =-4．
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