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  • 探究f(x)=x+1x，x∈(0，+∞)的最小值，并确定相应的x的值，类表如下： x … 14 13 12 1 2 3 4 … y … 174 103 52 2 52 103 174 … 请观察表中y值随x值变化的特点，完成下列的问题：（1）若x1x2=1，则f（x1） f（x2）（请 用“＞”、“＜”或“=”填上）；若函数f(x)=x+1x，(x＞0)在区间（0，1）上单调递减，则在区间 上单调递增．（2）当x= 时，f(x)=x+1x，(x＞0)的最小值为 ．（3）证明函数f(x)=x+1x在区间（1，+∞）上为单调增函数．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      探究f(x)=x+
      1
      x
      ，x∈(0，+∞)的最小值，并确定相应的x的值，类表如下：
      x
      …
      1
      4
      1
      3
      1
      2
      		1 2 3 4
      …
      y
      …
      17
      4
      10
      3
      5
      2
      		2
      5
      2
      10
      3
      17
      4

      …
      请观察表中y值随x值变化的特点，完成下列的问题：
      （1）若x      1x2=1，则f（x1）          f（x2）（请 用“＞”、“＜”或“=”填上）；若函数f(x)=x+
      1
      x
      ，(x＞0)在区间（0，1）上单调递减，则在区间          上单调递增．
      （2）当x=                时，f(x)=x+
      1
      x
      ，(x＞0)的最小值为          ．
      （3）证明函数f(x)=x+
      1
      x
      在区间（1，+∞）上为单调增函数．

      试题解答

      =:（1，+∞）:1:2
      解：（1）∵f（x）=x+
      1
      x
      ，当x1x2=1时，x1=
      1
      x2
      ，∴f（x1）=x1+
      1
      x1
      =
      1
      x2
      +x2=f（x2），∴应填：=；
      观察表中y值随x值变化的特点，当0＜x＜1时，y随x的增大而减小，当x＞1时，y随x的增大而增大，∴应填：（1，+∞）；
      （2）由表中y值随x值变化的特点，知当x=1时，f(x)=x+
      1
      x
      ，(x＞0)的最小值为2；∴应填：1，2；
      （3）设x      1，x2∈（1，+∞），且x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=（x1+
      1
      x1
      ）-（x2+
      1
      x2
      ）=（x1-x2）（1-
      1
      x1x2
      ）；
      ∵x      1，x2∈（1，+∞）且x1＜x2，
      ∴      x1-x2＜0，1-
      1
      x1x2
      ＞0；
      ∴f（x      1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）；
      ∴函数f（x）在区间（1，+∞）上是增函数．
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