（Ⅰ）用定义证明函数f(x)=x+4x在[2，+∞）上单调递增；（Ⅱ）用（Ⅰ）的结论求y=f（2x）（x∈[0，3]）的最值及相应的x的值．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

（Ⅰ）用定义证明函数f(x)=x+

在[2，+∞）上单调递增；
（Ⅱ）用（Ⅰ）的结论求y=f（2^x）（x∈[0，3]）的最值及相应的x的值．

见解析

解：（Ⅰ）证明：（I）任取x₁，x₂∈[2，+∞），且x₁＜x₂，则x₁-x₂＞0，x₂x₁＞4，
那么 f(x₁)-f(x₂)=x₁+

x₁

-(x₂-

x₂

)=(x₁-x₂)-

4(x₂-x₁)

x₁x₂

=(x₁-x₂)(1-

x₁x₂

(x₁-x₂)(x₂x₁-4)

x₁x₂

＜0
即f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）在[2，+∞）上单调递增．
（Ⅱ）令2^x=t，则当x∈[0，3]时，t∈[1，8]，
由（Ⅰ）知，f(t)=t+

在[2，+∞）上递增，
同理可证f（t）在（0，2]上递减，
从而f(t)=t+

在[1，2]上递减，在[2，8]上递增，
故当t=2，???x=1时，y_min=4；
又当t=1，即x=0时，y=5；
当t=8即x=3时，y=

，
∵

＞4，
∴y_max=

，当x=3时取到．

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