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定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=-f(x).当x∈(0,1)时有:f(x)=2x4x+1.(1)求f(x)在(-1,1)上的解析式;(2)判断f(x)在(0,1)上的单调性并用定义证明.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=-f(x).当x∈(0,1)时有:f(x)=
2
x
4
x
+1
.
(1)求f(x)在(-1,1)上的解析式;
(2)判断f(x)在(0,1)上的单调性并用定义证明.
试题解答
见解析
解:(1)设x∈(-1,0)则-x∈(0,1)
∵?x∈R,f(-x)=-f(x),且x∈(0,1)时,f(x)=
2
x
4
x
+1
,
∴x∈(-1,0)时,有f(x)=-f(-x)=-
2
-x
4
-x
+1
=-
2
x
4
x
+1
..(3分)
在f(-x)=-f(x)中,令x=0,f(-0)=-f(0)?f(0)=0.(5分)
综上:当x∈(-1,1)时,有:f(x)=
{
2
x
4
x
+1
,x∈(0,1)
-
2
x
4
x
+1
,x∈(-1,0)
0,x∈{0}
(7分)
(2)f(x)在(0,1)上是减函数(8分)
证明:设0<x
1
<x
2
<1则x
2
-x
1
???0,0<x
1
+x
2
<2,∴
2
x
1
+x
2
>1,2
x
2
>2
x
1
.(10分)
∴f(x
2
)-f(x
1
)=
2
x
2
4
x
2
+1
-
2
x
1
4
x
1
+1
=
(2
x
1
-2
x
2
)(2
x
1
+x
2
-1)
(4
x
1
+1)(4
x
2
+1)
<0(13分)
∴f(x
2
)<f(x
1
)
∴f(x)在(0,1)上是减函数(14分)
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单选题
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数学
集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;元素与集合关系的判断;子集与真子集
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第1章 集合
1.1 集合的含义与表示
集合的表示法
集合的分类
集合的含义
集合的确定性、互异性、无序性
元素与集合关系的判断
第3章 指数函数和对数函数
3.1 正整数指数函数
正整数指数函数
第4章 函数应用
4.1 函数与方程
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二分法求方程的近似解
根的存在性及根的个数判断
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函数的零点与方程根的关系
函数零点的判定定理
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