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已知定义域为(-1,1)的函数f(x)=xx2+1.(Ⅰ)判断函数f(x)奇偶性并加以证明;(Ⅱ)判断函数f(x)的单调性并用定义加以证明;(Ⅲ)解关于x的不等式f(x-1)+f(x)<0.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
已知定义域为(-1,1)的函数f(x)=
x
x
2
+1
.
(Ⅰ)判断函数f(x)奇偶性并加以证明;
(Ⅱ)判断函数f(x)的单调性并用定义加以证明;
(Ⅲ)解关于x的不等式f(x-1)+f(x)<0.
试题解答
见解析
解:(I)f(x)为定义域上的奇函数,证明如下:
定义域为(-1,1),关于原点对称,
又f(-x)=
-x
(-x)
2
+1
=
-x
x
2
+1
=-f(x),
∴f(x)为奇函数;
(II)f(x)在(-1,1)上单调递增,证明如下:
任取x
1
,x
2
∈(-1,1),且x
1
<x
2
,
则f(x
1
)-f(x
2
)=
x
1
x
1
2
+1
-
x
2
x
2
2
+1
=
x
1
(
x
2
2
+1)-x
2
(
x
1
2
+1)
(
x
1
2
+1)(
x
2
2
+1)
=
(x
2
-x
1
)(
x
1
x
2
-1)
(
x
1
2
+1)(
x
2
2
+1)
,
∵x
1
,x
2
∈(-1,1),且x
1
<x
2
,
∴x
2
-x
1
>0,x
1
x
2
-1<0,
x
1
2
+1>0,
x
2
2
+1>0,
∴f(x
1
)-f(x
2
)<0,即f(x
1
)<f(x
2
),
∴f(x)在(-1,1)上单调递增;
(III)由(Ⅰ)知,f(x)为奇函数,
∴f(x-1)+f(x)<0等价于f(x-1)<-f(x)=f(-x),
由(Ⅱ)知f(x)单调递增,
∴
{
x-1<-x
-1<x-1<1
-1<x<1
,解得0<x<
1
2
,
∴不等式的解集为:(0,
1
2
);
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单选题
高中
数学
集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;元素与集合关系的判断;子集与真子集
相关试题
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第1章 集合
1.1 集合的含义与表示
集合的表示法
集合的分类
集合的含义
集合的确定性、互异性、无序性
元素与集合关系的判断
第3章 指数函数和对数函数
3.1 正整数指数函数
正整数指数函数
第4章 函数应用
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二分法求方程的近似解
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函数零点的判定定理
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