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  • 探究函数f(x)=x2+16x2(x＞0)的最小值，并确定取得最小值时x的值．列表如下，请观察表中y值随x值变化的特点，完成以下的问题． x … 0.5 1 1.5 1.7 2 2.1 2.3 3 4 7 … y … 64.25 17 9.36 8.43 8 8.04 8.31 10.7 17 49.33 … 已知：函数f(x)=x2+16x2(x＞0)在区间（0，2）上递减，问：（1）函数f(x)=x2+16x2(x＞0)在区间 上递增．当x= 时，y最小= ．（2）证明：函数f(x)=x2+16x2(x＞0)在区间（0，2）递减；（3）思考：函数f(x)=x2+16x2(x＜0)有最大值或最小值吗？如有，是多少？此时x为何值？（直接回答结果，不需证明）试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      探究函数f(x)=x2+
      16
      x2
      (x＞0)的最小值，并确定取得最小值时x的值．列表如下，请观察表中y值随x值变化的特点，完成以下的问题．
      x … 0.5 1 1.5 1.7 2 2.1 2.3 3 4 7 …
      y … 64.25 17 9.36 8.43 8 8.04 8.31 10.7 17 49.33 …
      已知：函数f(x)=x2+
      16
      x2
      (x＞0)在区间（0，2）上递减，问：
      （1）函数f(x)=x      2+
      16
      x2
      (x＞0)在区间          上递增．当x=          时，y最小=          ．
      （2）证明：函数f(x)=x      2+
      16
      x2
      (x＞0)在区间（0，2）递减；
      （3）思考：函数f(x)=x      2+
      16
      x2
      (x＜0)有最大值或最小值吗？如有，是多少？此时x为何值？（直接回答结果，不需证明）

      试题解答

      （2，+∞）:2:4
      解：（1）由图表可知，函数的单调增区间为（2，+∞）； 当x=2时y最小=4．
      故答案为（2，+∞），2，4． …（4分）
      （2）证明：设 0＜x      1＜x2 ＜2，
      ∵f（x      1）-f（x2）=x12+
      16
      x12
      -x22+
      16
      x22
      =(x12-x22)(1-
      16
      (x1x2)2
      )=
      (x12-x22)(x12x22-16)
      (x1x2)2
      ．
      又∵0＜x      1＜x2＜2，∴x12-x22＜0，又∵x1，x2∈（0，2），∴0＜(x1x2)2＜16，
      ∴(x      1x2)2-16＜0，∴f（x1）-f（x2）＞0∴函数在（0，2）上为减函数．…（9分）
      （3）思考：y=x      2+
      16
      x2
      ，x∈(-∞，0)，当x=-2时，函数y有最小值等于 8．…（12分）
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