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  • 已知函数f(x)=x2+ax，且f(1)=2．（1）判断并证明函数f（x）在其定义域上的奇偶性；（2）证明函数f（x）在（1，+∞）上是增函数．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f(x)=
      x2+a
      x
      ，且f(1)=2．
      （1）判断并证明函数f（x）在其定义域上的奇偶性；
      （2）证明函数f（x）在（1，+∞）上是增函数．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵函数f(x)=
      x2+a
      x
      ，且f(1)=2．
      ∴a+1=2，∴a=1，
      ∴f(x)=
      x2+1
      x
      =x+
      1
      x
      ，
      ∴f（x）的定义域{x|x≠0}关于原点对称，
      ∴f(-x)=-x-
      1
      x
      =-f(x)，
      ∴f（x）是定义域上的奇函数．
      （2）证明：任取x      1，x2∈（1，+∞），且x1＜x2，
      则f(x      1)-f(x2)=x1-x2+(
      1
      x1
      -
      1
      x2
      )=(x1-x2)
      (x1x2-1)
      x1?x2
      ，
      ∵x      1＜x2，∴x1-x2＜0，
      又x      1，x2∈（1，+∞），
      ∴x      1?x2＞1?x1?x2-1＞0，
      ∴f（x      1）-f（x2）＜0，
      ∴函数f（x）在（1，+∞）上是增函数．
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