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设函数f(x)的定义域是R,对于任意实数m,n,恒有f(m+n)=f(m)?f(n),且当x>0时,0<f(x)<1.(1)求证:f(0)=1,且当x<0时,有f(x)>1;(2)判断f(x)在R上的单调性;(3)设集合A={(x,y)|f(x2)?f(y2)>f(1)},B={(x,y)|f(ax-y+2)=1,a∈R},若A∩B=?,求a的取值范围.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
设函数f(x)的定义域是R,对于任意实数m,n,恒有f(m+n)=f(m)?f(n),且当x>0时,0<f(x)<1.
(1)求证:f(0)=1,且当x<0时,有f(x)>1;
(2)判断f(x)在R上的单调性;
(3)设集合A={(x,y)|f(x
2
)?f(y
2
)>f(1)},B={(x,y)|f(ax-y+2)=1,a∈R},若A∩B=?,求a的取值范围.
试题解答
见解析
解:(1)证明:∵f(m+n)=f(m)f(n),令m=1,n=0,则f(1)=f(1)f(0),
且由x>0时,0<f(x)<1,∴f(1)>0∴f(0)=1;
设m=x<0,n=-x>0,∴f(0)=f(x)f(-x),∴f(x)=
1
f(-x)
∵-x>0,∴0<f(-x)<1,∴
1
f(-x)
>1.
即当x<0时,有f(x)>1.
(2)设x
1
<x
2
,则x
2
-x
1
>0,∴0<f(x
2
-x
1
)<1,
∴f(x
2
)-f(x
1
)=f[(x
2
-x
1
)+x
1
]-f(x
1
)
=f(x
2
-x
1
)f(x
1
)-f(x
1
)=f(x
1
)[f(x
2
-x
1
)-1]<0,
当m=n时,f(2n)=f(n)f(n)=f(n)
2
≥0,
所以当x∈R,f(x)≥0,所以f(x
1
)≥0,
所以f(x
2
)-f(x
1
)>0,即f(x
2
>f(x
1
),
∴f(x)在R上单调递减.
(3)∵f(x
2
)f(y
2
)>f(1),
∴f(x
2
+y
2
)>f(1),由f(x)单调性知x
2
+y
2
<1,
又f(ax-y+2)=1=f(0),
∴ax-y+2=0,
又A∩B=?,∴
2
√
a
2
+1
≥1,
∴a
2
+1≤4,从而-
√
3
≤a≤
√
3
.
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集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;元素与集合关系的判断;子集与真子集
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第1章 集合
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